Зміст
Глава 1. Введення в диференціальну геометрію поверхонь. Основні поняття
1.1 Перша квадратична форма поверхні
1.2 Внутрішня геометрія поверхні
1.3 Друга квадратична форма поверхні
1.4 Класифікація точок регулярної поверхні
1.5 Середня та гауссова кривизни поверхні
Глава 2. Поняття поверхні Каталана
2.1 Загальні положення
2.2 Приклади поверхонь Каталана
2.3 Види поверхонь Каталана
Глава 3. Диференціальна геометрія поверхонь Каталана
3.1 Перша і друга квадратичні форми лінійчатої поверхні
3.2 Перша і друга квадратичні форми поверхні Каталана
3.3 Про коноида
Глава 4. Спеціальні поверхні Каталана (поверхні класу КА)
4.1 Виведення рівняння поверхні класу КА
4.2 Виведення рівняння поверхні класу КА по заданих кривих і нормальному вектору породжує площині
Глава 5. Диференціальна геометрія поверхонь класу КА
5.1 Перша і друга квадратичні форми лінійчатої поверхні
5.2 Перша квадратична форма поверхні класу КА
5.3 Друга квадратична форма поверхні класу КА
Глава 6. Про програму візуалізації і аналізу поверхонь
6.1 Загальні положення і можливості програми
6.2 Приклади роботи
Висновки
Список літератури
Глава 1. Введення в диференціальну геометрію поверхонь.
Основні поняття
1.1 Перша квадратична форма поверхні
Нехай - гладка поверхня, - її векторне параметричне рівняння і.
Визначення 1.1.
Першої квадратичної формою на поверхні називається вираз
(1)
Розпишемо це вираз докладніше.
,
Звідки (2)
Вираз (2) в кожній точці поверхні являє собою квадратичну форму від диференціалів і. Перша квадратична форма є знакоположітельной, так як її дискримінант
і.
Для коефіцієнт першого квадратичної форми часто використовують такі позначення (і ми в своїх дослідженнях будемо дотримуватися саме їх) ([1]. [2], [3]):
,
,
.
Так що вираз (2) для форми можна переписати у вигляді
(3)
Відповідно,
.
1.2 Внутрішня геометрія поверхні
Відомо, що, знаючи першої квадратичної форми поверхні, можна обчислювати довжини дуг кривих на поверхні, кути між кривими і площі областей на поверхні. У самому справі, якщо розглянути формули, що визначають вищевказані величини, можна зауважити, що туди входять тільки лише коефіцієнти,, першої квадратичної форми. Тому якщо відомі перші квадратична форма поверхні, можна досліджувати геометрію на поверхні, не звертаючись до її рівнянням, а лише використовуючи її першої квадратичної форми.
Сукупність геометричних фактів, що відносяться до поверхні, які можна отримати при допомоги її першої квадратичної форми, складає так звану внутрішню геометрію поверхні.
Поверхні, що мають однакові першої квадратичної форми і тому мають однакову внутрішню геометрію, називаються ізометричний.
Розглянемо простий приклад.
Нехай задана поверхня
Це циліндрична поверхню з синусоїдою в якості направляючої.
Маємо:
,
Тому
,
,
Отже,
.
Якщо зробити заміну, вводячи нові параметри і таким чином
,
.
Тоді перша квадратична форма поверхні прийме, очевидно, вид
.
Ми бачимо, що в нових змінних першої квадратичної форми розглянутої циліндричної поверхні збігається з першою квадратичною формою площині і тому внутрішня геометрія цієї поверхні збігається з внутрішньою геометрією площині. Тобто синусоїдальний циліндр ізометрічен площині. Цей важливий факт ми ще отримаємо дещо іншим способом.
Чисто геометрично це властивість зрозуміло: синусоїдальний циліндр виходить вигинанням (тобто деформацією без стиснень і розтягувань) звичайної площині. При такій деформації внутрішня геометрія не змінюється.
Більш того, можна показати, що якщо одна поверхня виходить з іншої шляхом згинання, то внутрішні геометрії цих поверхонь збігаються.
1.3 Друга квадратична форма поверхні
1.3.1. Визначення другий квадратичної форми.
Основним об'єктом розгляду в цій частині викладу стане - регулярна поверхня, задана своїм радіус-вектором.
,
У кожній точці такої поверхні крім одиничного вектора нормалі
(1)
Визначено і другий диференціал радіус вектора
(2)
Визначення 1.2.
Другий квадратичної формою поверхні називається скалярний добуток векторів і .
([1], [3], [4], [5]) (3)
Неважко помітити, що в кожній точці поверхні квадратична форма (3) є квадратичною формою щодо диференціалів і.
Для коефіцієнтами другого квадратичної форми прийняті (і ми також надалі будемо користуватися цим) наступні позначення
(4)
Це дозволяє записати її в наступному простому вигляді
(5)
Покажемо ще один спосіб обчислення коефіцієнтами другого квадратичної форми поверхні.
Замінимо в формулах (4) одиничний вектор нормалі на його вираз (1), отримаємо,
(6)
Для докладного виводу потрібно знати тотожність:
.
Продовжимо міркування.
Так як вектори і ортогональні (перший, зрозуміло лежить у дотичній площині до поверхні, а другий лежить в площині нормального перерізу).
Тому
.
Звідки
Звідси, диференціюючи, отримаємо:
(7)
Це дає ще один спосіб розрахунку другого квадратичної форми.
([5], [6]) (8)
Звідси ж можна одержати нові формули для обчислення коефіцієнтами другого квадратичної форми. Втім, зручніше продиференціювати по і по очевидні рівності
і.
Скориставшись співвідношеннями (4), отримуємо, що
(9)
Друга квадратична форма ефективна при з'ясуванні графічних властивостей регулярної поверхні.
1.4 Класифікація точок регулярної поверхні
Нехай - регулярна поверхню і - її параметричне завдання.
Виберемо на поверхні деяку точку та розглянемо площину, яка стосується поверхні в цій точці.
Відхилення довільної точки поверхні від площині визначимо за формулою
(1)
У цій формулі - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці. Це відхилення, взяте за абсолютній величині, дорівнює відстані від точки до площини. Відхилення додатне, якщо точка і кінець вектора лежать по одну сторону від дотичної площини, відповідно, воно негативно, якщо вони лежать по різні боки від дотичної площини в точці.
Розглянемо формулу (1).
Різниця допускає наступну інтерпретацію
(2)
Де
, при.
Помножимо обидві частини рівності (2) скалярно на вектор і поклавши
,.
Отримаємо, що
(3)
Зрозуміло, вдумливий (Або хоча б трохи читає ці викладки) читач зрозуміє, що коефіцієнти
,
,
зазначені у формулі (3) обчислені в точці, в околиці якої ми і розглядаємо вихідну поверхню.
З курсу лінійної алгебри відомо, що властивості квадратичної форми багато в чому визначаються її дискримінант. А скоріше навіть знайомий квадратичної форми.
Обчислимо дискримінант другий квадратичної форми в точці.
Розглянемо всі можливі випадки. ([7], [8], [9], [10], [11])
Випадок 1.
Тобто друга квадратична форма поверхні в заданій точці є знакоопределенной.
Зафіксуємо в точці деякий напрямок на поверхні. Нехай.
Тоді будь-яке інше напрямок на пове...
