Реферат Рішення задач методами Ейлера та Рунге-Кутта

1. Побудувати кубічний сплайн, інтерполюється функцію у = | (х) на [1,00; 1,20] для рівномірного розбиття з кроком h = 0,04:

| (х) = ln x

Знайти значення в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Рішення

Побудуємо таблицю значень функції на інтервалі [1,00; 1,20] з кроком

h = 0,04:

x | (х) = Ln x 1 0 1,04 0,039221 1,08 0,076961 1,12 0,113329 1,16 0,14842 1,2 0,182322 Сплайн-інтерполяція таблично заданої функції

1. На відрізку [a, b] задати одномірну сітку

h x = {x i /x i = x i -1 + H i , h i > 0, i = 1, 2, 3, ..., n; x 0 = a, x < sub> n = B}

і значення y i = f (x i ) у вузлах сітки x i , i = 0, 1, 2, ..., n.

Задати x * ГЋ (a, b).

2. Покласти a i = y j , i = 0, 1, 2, ..., n.

3. Скласти і вирішити трьох діагональну систему методом прогонки:

Визначити значення коефіцієнтів c i , i = 0, 1, 2, ..., n.

4. Визначити значення коефіцієнтів d i і b i , i = 1, 2, 3, ..., n, скориставшись формулами:

d i =

(c i - c i - 1 )/H i , i = 1, 2, ...

5. Визначити значення індексу 0 * ГЋ [x k - 1 , x k ].

6. Обчислити за формулою

S (x * ) = S k (x * ) = a k + b k (x * - X k ) + (c k /2) (x * - x k ) 2 + (D k /6) (x * - x k ) 3 .

7. Процес завершено: S (x * ) - результат інтерполяції табличних даних в точку x * ГЋ (a, b).

Результати обчислень зручніше представляти у вигляді таблиці:

a i

b i

c i

d i

0,03922 0,96467 -1,188280 -29,70700 0,07696 0,92494 -0,798322 9,74897 0,11333 0,89366 -0,765997 0,80813 0,14842 0,85986 -0,92391 -3,94780 0,18232 0,84138 0,00000 23,09770

Значення функції в точці знаходиться по формулою:

S (x * ) = S k (x * ) = A k + b k (x * - x k ) + (c k /2) (x * - X k ) 2 + (d k /6) (x * - x < sub> k ) 3

2. Знайти рішення задачі Коші для диференціального рівняння на рівномірній сітці [a, b] з кроком 0,2 методом Ейлера і класичним методом Рунге-Кутта

,, 0 ВЈ х ВЈ 1

Рішення. Метод Ейлера

- різницева апроксимація Ейлера. Точність методу. Метод Рунге-Кутта

диференціальний інтерполюються рівняння сплайн

Результати обчислень зручніше представляти у вигляді таблиць:

Метод Ейлера

x y

0 0 1 0,2 0,2 1 0,4 ​​ 0,416 1.04 0,6 0,67392 1.1232 0,8 1,00639 1.25798 1 1,45926 1.45926

Метод Рунге-Кутта

i

=

0 0 1 0 0,02 0,0202 0,040808 1,0202 1 0,2 1,0202 0,0408081 0,0624363 0,0630852 0,0866629 1,08329 2 0,4 ​​ 1,08329 0,086663 0,112662 0,113962 0,14367 1,19722 3 0,6 1,19722 0,143666 0,177667 0,180047 0,220362 1,37713 4 0,8 1,37713 0,22034 0,267713 0,271977 0,329821 1,64872 5 1 1,64872 0,329743