Введення
Як і всякі явища, випадкові явища викликаються цілком певними причинами. Всі явища навколишнього нас світу взаємно пов'язані і впливають одне на інше (закон загального зв'язку явищ). Тому кожне спостережуване явище пов'язане причинного залежністю з незліченною безліччю інших явищ і протягом його залежить від незліченної безлічі факторів. Простежити все це нескінченна безліч зв'язків і визначити дію кожної з них принципово неможливо. Тому, вивчаючи те чи інше явище, людина обмежується лише основними чинниками, що визначають його перебіг, та нехтує величезною кількістю другорядних явищ. Це дає можливість глибше проникнути в сутність явища, встановити його закономірність. Разом з тим, поступаючи так, людина збіднює явище, схематизує його. Іншими словами, він замінює досліджуване явище підходящої спрощеної його моделлю. Внаслідок цього будь-який закон науки відображає сутність досліджуваного явища, але він завжди значно біднішими, вже самого явища. Ніякий закон не може характеризувати явище всебічно, у всій повноті і різноманітті. Спостережувані в реальному явищі відхилення від закономірності, що викликаються спільною дією незліченної безлічі неврахованих факторів, і являють собою випадкові явища.
При експериментальному вивченні якогось явища з метою встановлення його закономірностей доводиться спостерігати його багаторазово в однакових умовах. При цьому під однаковими умовами ми розуміємо однакові значення всіх кількісних характеристик контрольованих факторів. Всі неконтрольовані фактори будуть при цьому різними. Внаслідок цього дія контрольованих факторів буде практично однаковим при різних спостереженнях одного і того ж явища. У цьому якраз і проявляються закони даного явища. Випадкові ж відхилення від закономірності, викликані дією неконтрольованих факторів, будуть різними при різних спостереженнях, причому передбачати заздалегідь, якими вони будуть при даному конкретному спостереженні, принципово неможливо. Роль випадковостей у різних явищах різна. У деяких явищах випадкові відхилення від закономірностей настільки малі
, що їх можна не враховувати. Однак є й такі явища, в яких неможливо помітити ніяких закономірностей, і випадковість відіграє основну роль. Прикладом такого явища може служити рух малої частки твердої речовини, зваженої в рідині, так зване броунівський рух. Під дією поштовхів величезної кількості рухомих молекул рідини частка рухається абсолютно безладно, без всякої видимої закономірності. У подібних явищах сама випадковість є закономірністю. При багаторазовому спостереженні випадкових явищ в них самих можна помітити певні закономірності. Вивчивши ці закономірності, людина отримує можливість до певної міри керувати випадковими явищами, обмежувати їх вплив, передбачати результати їх дії і навіть цілеспрямовано використовувати їх у своїй практичній діяльності. Так, наприклад, можна проектувати вимірювальні системи, що володіють максимальною доступною точністю, радіоприймальні пристрої з максимальною перешкодозахищеністю, володіють мінімальним рівнем шумів, системи управління рухом літальних апаратів, що забезпечують найбільшу можливу точність навігації або найменше дію В«бовтанкиВ» на літальний апарат. Можна також проектувати технічні системи, що володіють заданою надійністю. Вивченням закономірностей масових випадкових явищ займається особлива математична наука - теорія ймовірностей. Методи теорії ймовірностей, звані ймовірнісними або статистичними, дають можливість проводити розрахунки, дозволяють робити певні практичні висновки щодо випадкових явищ. Як і всяка прикладна наука, теорія ймовірностей потребує вихідних експериментальних даних для розрахунків. Розділ теорії ймовірностей, вивчає методи обробки результатів дослідів і отримання з них необхідних даних, називається математичною статистикою.
дискретний дисперсія коваріація кореляція
Математичне сподівання дискретної випадкової величини
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.
Нехай випадкова величина може приймати тільки значення ймовірності яких відповідно рівні Тоді математичне сподівання випадкової величини визначається рівністю
Якщо дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч можливих значень, то
Причому математичне очікування існує, якщо ряд в правій частині рівності сходиться абсолютно.
Зауваження. З визначення випливає, що математичне сподівання дискретної випадкової величини є невипадкова (постійна) величина.
Визначення математичного очікування в загальному випадку
Визначимо математичне очікування випадкової величини, розподіл якої не обов'язково дискретно. Почнемо з випадку невід'ємних випадкових величин. Ідея буде полягати в тому, щоб апроксимувати такі випадкові величини за допомогою дискретних, для яких математичне сподівання вже визначено, а математичне очікування покласти рівним межі математичних очікувань наближають її дискретних випадкових величин. До речі, це дуже корисна спільна ідея, яка полягає в тому, що деяка характеристика спочатку визначається для простих об'єктів, а потім для більш складних об'єктів вона визначається за допомогою апроксимації їх більш простими.
Лемма 1. Нехай є довільна ненегативна випадкова величина. Тоді існує послідовність дискретних випадкових величин, таких, що
Доказ. Розіб'ємо піввісь на рівні відрізки довжини і визначимо
якщо
Тоді властивості 1 і 2 легко слідують з визначення випадкової величини, і
Лемма 2. Нехай-ненегативна випадкова величина і і дві послідовності дискретних випадкових величин, що володіють властивостями 1-3 з леми 1. Тоді
Доказ. Відзначимо, що для невід'ємних випадкових величин ми допускаємо
У силу властивості 3 легко бачити, що існує послідовність позитивних чисел, така що
Звідси випливає, що
. Використовуючи властивості математичних очікувань для дискретних випадкових величин, отримуємо
Переходячи до межі при отримуємо твердження леми 2.
Визначення 1. Нехай - невід'ємна випадкова величина,-послідовність дискретних випадкових величин, що володіють властивостями 1-3 з леми 1. Математичним очікуванням випадкової величини називається число
Лемма 2 гарантує, що не залежить від вибору апроксимуючої послідовності.
Нехай тепер - довільна випадкова величина. Визначимо
З визначення і легко випливає, що
Визначення 2. Математичним очікуванням довільної випадкової величини називається число
Якщо хоча б одне з чисел в правій частині цієї рівності звичайно.
Властивості математичного очікування
Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній:
Доказ. Будемо розглядати постійну як дискретну випадкову величину, яка має одне можливе значення і приймає його з ймовірністю отже,
Зауваження 1. Визначимо твір постійної величини на дискретну випадкову величину як дискретну випадкову можливі значення якої дорівнюють добуткам постійної на можливі значення; ймовірності можливих значень дорівнюють ймовірностям відповідних можливих значень Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює то ймовірність того, що величина прийме значення також дорівнює
Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Доказ. Нехай випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
Враховуючи зауваження 1, напишемо закон розподілу випадкової величини
Отже,
Зауваження 2. Перш, ніж перейти до наступного властивості, вкажемо, що дві випадкові величини називають незалежн...
