Зміст
Введення
В§ 1. Характери Дирихле і L-функції Діріхле
В§ 2. Функція Оё (x , О§), її функціональне рівняння
В§ 3. Аналітичне продовження L-функції Діріхле на комплексну площину
В§ 4. Функціональне рівняння для L-функції Діріхле. Тривіальні нулі L-функції Діріхле
В§ 5. Нетривіальні нулі L-функції Діріхле
5.1 Теорема Вейєрштрасса про розкладання в твір цілих функцій
5.2 Про нескінченність цілих нетривіальних нулів L-функції Діріхле 12
В§ 6. Узагальнена гіпотеза Рімана
Бібліографічний список
Введення
Теорія L-функцій Діріхле розвинулася в одне з найважливіших допоміжних засобів аналітичної теорії чисел. Велику роль в додатках відіграє дослідження нулів L-функцій Діріхле.
В аналітичній теорії чисел L-функція Дирихле грає таку ж роль, як і О¶-функція при вирішенні задач теорії чисел, а саме завдань, пов'язаних з розподілом простих чисел в арифметичних прогресіях і в завданнях, пов'язаних з оцінками арифметичних сум.
Предметом дослідження даної курсової роботи є розподіл значень L-функцій Дирихле, результати Гурвіца про виведення функціонального рівняння для L-функції Діріхле і як наслідок, показати, що L-функції Діріхле в критичній смузі мають нескінченне число нулів. Ці функції ввів в 1837 Густав Діріхле при дослідженні питання про розподіл простих чисел в арифметичних прогресіях. Основні результати були отримані в 1922 році А. Гурвіцем.
В даній курсовій роботі виклад матеріалу відбиває основні властив
ості L-функцій Діріхле та відповідає результатам, полеченним Гурвіцем стосуються L-функцій Діріхле.
У висновку даної роботи наводиться гіпотеза про розподіл нулів дзета-функції, сформульована Бернхардом Ріманом в 1859 році. Гіпотеза Рімана входить в список семи В«проблем тисячоліттяВ».
В§ 1. Характери Дирихле і L -функції Діріхле
Перш все визначимо характери по модулю k, рівному ступеня простого числа, і доведемо їх основні властивості. Характери по безпідставного модулю до визначимо потім через характери по модулю, рівному ступеня простого числа; при цьому основні властивості останніх збережуться.
Нехай k = р а , де р> 2 - просте число, О± ≥ 1. Як відомо, по модулю k існують первісні корені, і нехай g - найменший з них. Через ind n будемо позначати індекс числа п, (п, к) = 1, по модулю k при підставі g, т. е. число Оі = Оі (п) = ind n таке, що
(mod k).
Визначення 1.1. Характером по модулю k = р а , р> 2 - просте, О± ≥ 1, називається конечнозначная мультиплікативна періодична функція П‡ (n), областю визначення якої є безліч цілих чисел п, і така, що
де т - ціле число.
З визначення характеру видно, що функція залежить від параметра т, є періодичною з т з періодом П† (k), тобто існує, взагалі кажучи, П† (k) характерів по модулю k, які виходять, якщо брати т рівним 0, 1, ..., П† (k) - 1.
Нехай тепер k = 2 О± , О± ≥ 3. Як відомо, для будь-якого непарного числа п існує система індексів Оі 0 = Оі 0 (п) і Оі 1 = Оі 1 (n) по модулю k, тобто такі числа Оі 0 і Оі 1 , що
Таким чином, числа Оі 0 і Оі 1 визначаються з точністю до доданків, кратних відповідно 2 і 2 О±-2 .
Визначення 1.2. Характером по модулю до = 2О± , О± ≥ 1, називається функція областю визначення якої є безліч цілих чисел п, певна однією з наступних формул:
Де m 0 , M 1 цілі числа.
З визначення 1.2. видно, що функція залежить від параметрів т 0 і m 1 є періодичної по m 0 і m 1 , з періодами відповідно 2 і 2 О±-2 тобто існує, взагалі кажучи, П† (k), = <П† (k О± ) характерів по модулю k = 2 О± , які виходять, якщо брати m 0 , Рівним 0, 1, а m 1 рівним 0, 1, ..., 2 О±-2 - 1.
Зважаючи того, що індекс числа або система індексів числа періодичні з періодом, рівним модулю функції, адитивні, тобто індекс твори (відповідно система індексів твори) дорівнює сумі індексів співмножників (відповідно сумі систем індексів співмножників), отримуємо такі властивості характеру П‡ (П):
1. по модулю k- періодична з періодом k функція, тобто
;
2. -Мультиплікативна функція, тобто
Очевидно також, що
П‡ (1) = 1.
L-ряди Діріхле - функції комплексного змінного, подібні дзета-функції Рімана, введені Діріхле при дослідженні питання про розподіл простих чисел в арифметичних прогресіях. Скрізь нижче під L-поруч будемо розуміти L-ряд Діріхле.
Нехай k - натуральне число і П‡ - небудь характер по модулю k.
Визначення 1.3. L-функцією називається ряд Діріхле виду:
Зважаючи того, що | П‡ (n) | ≤ 1, слід аналітичність L (s, П‡) в півплощині Re s> l. Для L (s, П‡) має місце аналог формули Ейлера (ейлеровское твір).
Лемма 1.1. При Re s> 1 справедливо рівність
Доказ. При X> 1 розглянемо функцію
Так як Re s> 1, то
отже,
(скористалися мультиплікативний П‡ (n) і однозначністю розкладання натуральних чисел на прості співмножники). Далі,
де Пѓ = Re s> l. Переходячи в (2) до границі Х в†’ + в€ћ, отримаємо твердження леми.
З (1) знаходимо
т. тобто L (s, П‡) в‰ 0 при Re s> l. Якщо характер П‡ по модулю k є головним, то L (s, П‡) лише простим множником відрізняється від дзета-функції О¶ (s).
Лемма 1.2. Нехай П‡ (n) = П‡ 0 (n) по модулю k. Тоді при Re s> 1
Доказ леми випливає з (6) і визначення головного характеру П‡ 0 (n).
Слідство. L (s, П‡) - Аналітична функція у всій s-площині, за винятком точки s = 1, де вона має простий полюс з вирахуванням, рівним
Якщо характер П‡ (n) є похідним, a П‡ 1 (n) - примітивний характер по модулю k 1 , k t k, відповідальний П‡ (n), то L (s, П‡) лише простим множником відрізняється від L (s, П‡ 1 ).
Лемма 1.3. Нехай П‡ 1 - примітивний характер по модулю k 1 і П‡ - індукований П‡ 1 похідний характер по модулю k, k t в‰ k. Тоді при Re s> 1
Доказ леми випливає з (1) і властивостей П‡ 1 і П‡.
Функцію L (s, П‡) можна продовжити в полуплоскость Re s> 1
Лемма 1.4. Нехай П‡ в‰ П‡ 0 , тоді при Re s> 0 справедлива рівність
Де
Доказ. Нехай N ≥ 1, Re s> l. Застосовуючи перетворення Абеля, будемо мати
Де
Переходячи до межі N в†’ + в€ћ, отримаємо (8) при Re s> l. Але | S (x) | ≤ П† (k); тому інтеграл в (3) сходиться в півплощині Re s> 0 і визначає там аналітичну функцію, що й потрібно було довести.
В§ 2. Функція Оё ( x , О§), її функціональне рівняння
Функціональне рівняння буде отримано для L (s, П‡) з примітивним характером П‡; тим самим і в силу леми 3 L (s, П‡) буде продовжена на всю s-площину при будь-якому П‡. Вид функціонального рівняння залежить від того, парних або непарних є характер П‡, тобто П‡ (-1) = +1 або П‡ (-1) = -1
Перш ніж вивести функціональне рівняння для L (s, П‡) і продовжити L (s, П‡) на всю s-площину, доведемо допоміжне твердження, аналогічне функціональному рівнянню для Оё (х) (див. лему 3, IV).
Лемма 2....
