Курсова робота
АРІФМЕТІЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ Теорії КОНГРУЕНЦІЙ
Зміст
Вступ
1. Конгруенції та їх Основні Властивості
2. Ознайо подільності
3. Перевірка аріфметічніх Дій
4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайна дріб в десятковій
5. Індекси. Загальні Властивості
Висновки
Вступ
Важливе Місце в курсі Теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, застосування конгруенцій. ЦІМ харчування Займан Такі Видатні Вчені як, Ейлера, Ферма, Б. Паскаль.
П'єр Ферма (1601-1665) - відомій свого часу юрист и радник суднового парламенту в Тулузі - інтенсівно и з великим успіхом займався різнімі математичних харчування. П. Ферма є одним з творців діференціального чисельності и Теорії ймовірності, альо особливо велике значення мают Його роботи по Теорії чисел. Більшість теоретико-числових результатів П. Ферма запісуваліся ним на полях екземпляр твору Діофанта "Арифметика"; Ферма зазвічай НЕ запісував доведення, а давайте Тільки Короткі вказівкі про метод, Який ВІН застосовував для Отримання свого результату. Твір Ферма Під назви "Opera Varia" булі відані вперше у 1679 р.
Теорема Ферма, викладу в Цій главі, булав вісловлена в одному з листів, послань їм в 1640 р. Френіклу. У цьому лісті Ферма пише, Що ВІН ОТРИМАНО доведення цієї теореми; протікають самє доведення Не було ним опубліковане.
Перше з відоміх доведення теореми Ферма належиться Лейбніцу (1646-1716). Доведення Лейбніца Було засноване на розгляді порівняння:
.
Ейлера давши декілька різніх доведення теореми Ферма, з якіх перше відносіться до 1736 р. У 1760 р. Ейлера узагальнів теорему, Надал їй виглядах теореми 120, Що носити Його Ім'я. Треба при цьому мати на увазі, Що термінологія и позначені у Ферма и у Ейлера абсолютно відмінні від сучасности.
Блез Паскаль (1623-1662) - видатний французький математик, Фізик и філософ. Математічні інтересі Паскаля Дуже різноманітні: Він Зроби істотній Внесок у Розвиток аналізу нескінченно малих; разом з Ферма Паскаль є основоположником Теорії ймовірностей; йому належать загальна Ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке Інше ціле число, Яка грунтується на знанні суми цифр числа, а кож спосіб обчислення біноміальніх коефіцієнтів ("Аріфметічній трикутник "); ВІН Вперше точно визначена и застосував для доведення метод повної математичної індукції
Дана курсова робота Складається з 5 параграфів:
1. Конгруенції та їх Основні Властивості: вводяться Означення конгруенції, Основні Властивості, Основні теоремами в Теорії конгруенцій - Ейлера и Ферма.
2. Ознака подільності. У цьому параграфі розглядаються Основні ознайо подільності ціліх чисел, при вікорістанні конгруенцій; метод Паскаля - Загальна Ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке Інше ціле число.
3. Перевірка аріфметічніх Дій. У даного параграфі наведено два способи перевіркі аріфметічніх Дій: "перевіркі за допомог дев'яткі", "Перевіркі за допомог одинадцяти".
4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні Звичайний дріб в десятковій. Вікорістовуючі конгруенції можна перетворіті десятковій дріб у звичайний и візначіті Період даного дробу.
5. Індекси. У цьому параграфі розглядають Основні Властивості індексів, їх загальна характеристика. Індекси по простому и складень модулю розглядаються в окремому підпунктах.
Коженна параграф проілюстровано прикладами.
1. Конгруенції та їх Основні Властивості
Пріпустімо, Що т є натуральне число; розглядатімемо цілі числа у зв'язку з остачамі від ділення їх на Це натуральне його призначення та назівають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатіме певна остача и от ділення а на т:
, .
ЯКЩО двома цілім числах и відповідає одна ї та сама остача від ділення їх на т, то смороду назіваються конгруентність (або порівняннімі) за модулем т. Це позначається символом:
(1)
чітається: а конгруентність з за модулем т.
Деякі автори позначають Це коротше:
(1 ')
Співвідношення (1) [або (1 ')] Між числами назівають конгруенцією, або порівнянням.
Приклади. ;;.
Теорема 1. Конгруентність чисел и за модулем рівнозначна:
а) возможности податі а у формі , де - ціле;
б) подільності - на.
Властивості:
1. Для конгруенції справджуються закони: рефлектівності, сіметрічності и транзітівності, тобто відповідно:
a);
б) з конгруенції віпліває, Що;
в) ЯКЩО І, то.
2. Конгруенції за одним и тім самим модулем можна почленно додаваті (або відніматі).
Висновок 1. Доданок, Що Стоїть у якій-небудь частіні конгруенції, можна переносіті в іншу частин, змінівші знак на протилежних.
Висновок 2. Можна Додати до обох частин або відняті від обох частин конгруенції Одне й ті самє число.
Висновок 3. До кожної Частина конгруенції можна Додати (або відняті від неї) довільне число, кратне модулю.
3. Конгруенції за одним и тім самим модулем можна почленно перемножаті.
Висновок 1. Обідві Частина конгруенції можна помножіті на Одне й ті самє ціле число.
Висновок 2. Обідві Частина конгруенції можна підносіті до одного й того самого цілого невід'ємного степеня, тобто ЯКЩО. , То, де - ціле.
4. Обідві Частина конгруенції можна поділіті на їхній Спільний дільнік, ЯКЩО ВІН взаємно простий з модулем.
5. Обідві Частина конгруенції и модуль можна помножіті на Одне й ті самє натуральне число.
6. Обідві Частина конгруенції и модуль можна поділіті на будь-який їхній Спільний дільнік.
7. ЯКЩО конгруенція має Місце за кількома модулями, то вон матіме Місце і за модулем, Що дорівнює їхньому найменшого спільному кратному.
теорія конгруенція Ейлера ферм
8. ЯКЩО конгруенція має Місце за модулем , то вон матіме Місце і за будь-яким дільніком цього модуля.
9. ЯКЩО одна частина конгруенції и модуль діляться на його призначення та-небудь ціле число, то и друга частина конгруенції діліться на Це число.
10. Числа и , конгруентні Між собою за модулем , мают з ним один и тієї самий найбільшій Спільний дільнік.
Візьмемо Деяк натуральне число, взаємно просте з модулем, розглянемо послідовні степені:. Всі числа цієї нескінченної множини розподілені в класах, отже, прінаймні Один з ціх класів винен містіті нескінченну множини степенів. Узявші з цього класу два степені и позначені їх І, де, матімемо . Оскількі з слідує, то. Таким чином, для Деяк маємо, причому оскількі то. Тоді и при будь-якому натуральному матімемо, Що доводити існування нескінченної множини степенів, Що належать класу.
П. Ферма для простого модуля, а Л. Ейлера для будь-якого модуля вдалині вказаті значення, при якіх має Місце рівність. Відповідні теореми, ми їх назіватімемо теоремами Ферма - Ейлера, є основою всієї Теорії порівнянь и широко використовуються Як у теоретичних дослідженнях, так и в аріфметічніх застосуваннях.
Теорема Ферма. Для будь-якого простого и будь-якого, Що не діліться на, Справедливе порівняння
.
Теорема Ейлера. Для будь-якого модуля и будь-якого, взаємно простого з, Справедливе порівняння
.
2. Ознака подільності
Розрізняють Загальні ознайо, Що мают силу для будь-якого m и власні - для окремого значення m.
Загальну ознайо подільності віражає правило, за допомог Якого по цифрах числа N записаного в сістемі чисельності з основою g, можна судити про подільність Його на Інше число m.
Французький математик Блез Паскаль (1623-1662) знайшов Загальну ознайо подільності. Її можна сформулюват...
