Федеральне агентство з освіти
ГОУ ВПО
Філія Уральського державного економічного університету
в м. Березники
Кафедра В«Математичних і природничих дисциплінВ»
Контрольна робота
з дисципліни: В«Вища математикаВ»
Тема: В«Варіант № 18 В»
Виконав:
студент I курсу, групи ЕКПС-091
Лоскутова Ірина Петрівна.
Перевірив:
оскільки ф-м. н., професор.
Кобзєв Віктор Миколайович.
Березники
2010
Зміст
1. Завдання № 1
2. Завдання № 2
3. Список літератури
Варіант № 18
№ 1
Скласти оптимальний добовий раціон для відгодівлі великої рогатої худоби, що має найменшу вартість. Раціон складається з силосу і концентратів. Вміст каротину і кормових од. в 1 кг силосу 0 і 4 од. відповідно, а в 1 кг концентратів 1 і 3 од. відповідно. Для кожної тварини добова норма каротину 5 од., А кормових од. 31. Ціна 1 кг силосу 20 руб., А 1 кг. концентратів 30 руб.
а) Записати математичну модель задачі.
б) Вирішити завдання графічним методом.
а) Нехай Х1 та Х2 - кількість каротину і кормових одиниць, необхідних для відгодівлі.
Тоді добовий раціон задається цільовою функцією Z (Х) = 20х1 +30 Х2
Т.к. добова норма обмежена, то Х1 і Х2 повинні задовольняти нерівностям 4х2 ≥ 5
Х1 +3 Х2 ≥ 31
Х1 ≥ 0, Х2 ≥ 0
математичний функція рівняння невідоме
Таким чином, математична модель має вигляд
Знайти значення Х1 і Х2, задовольняють системі нерівностей
4х2 ≥ 5
Х1 +3 Х2 ≥ 31
Х1 ≥ 0, Х2 ≥ 0
і при яких функція Z (Х) = 5х1 +31 Х2 досягає мінімуму.
б) Вирішимо завдання графічним методом.
1. побудуємо прямі
4х2 = 5 Х1 +3 Х2 = 31
Х2 = 1,25
Х1
0
31
Х2
10,3
0
2. Для кожної прямий виділимо полуплоскость, відповідну нерівності
- вибираємо точку не приналежну прямим (наприклад, т. (0; 0))
- підставляємо її координати в кожне нерівність
- якщо нерівність вірне, то виділяємо полуплоскость, в якій лежить дана точка.
- якщо нерівність не вірне, то виділяємо іншу полуплоскость.
т. (0; 0) 4 * 0 = 0 <5 (В)
1 * 0 +3 * 0 = 0 <31 (в)
3. виділимо загальну частину полуплоскостей, отримуючи ОДР задачі.
4. Сроім вектор n = {5; 31} і пряму (Лінію рівня) Z = 0 n
5. Просуваємо лінію рівня Z = 0 в напрямі вектора n до тих пір, поки вона не перестане перетинати ОДР, тобто поки не будуть торкатися цієї області.
6. Знайдемо координати т. З вирішивши систему рівнянь
4х2 = 5 Х2 = 1,25 Х2 = 1,25
Х1 +3 Х2 = 31 Х1 = 30 - 3х2 Х1 = 27,25
т. З (27,25; 1,25)
7. Знайдемо значення цільової функції в т. С
Z (Х) = 5 * 27,25 +31 * 1,25 = 136,25 +38,75 = 175 (грн.)
Відповідь: для отримання оптимального добового раціону вартістю 175 руб. необхідно 27,25 кг силосу і 1,25 кг концентрату.
№ 2
Вирішити транспортну задачу методом потенціалів.
постачальник
споживач
Запаси вантажу
В1
В2
В3
В4
А1
5
9
11
3
7
А2
19
8
7
5
17
А3
4
6
3
1
10
Потреба
11
19
20
3
1. Визначимо тип завдання: для цього знайдемо сумарні запаси
3 4
постачальників ОЈ Аi і сумарні запаси споживачів ОЈ Вj
i ≥ 1 j ≥ 1
3
ОЈAi = 7 +17 +10 = 34
i ≥ 1 4 березня
ОЈAi в‰ ОЈ Bj завдання відкритого типу.
4 i ≥ 1 j ≥ 1
ОЈ Bj = 11 +19 +20 +3 = 53
j ≥ 1
Наведемо задачу до закритого типу:
Введемо фіктивного постачальника А4i із запасом вантажу в 19 од. (53-34) та вартістю перевезень С4j = 0.
Отримаємо таблицю 1.
Bj
Ai
11
19
20
3
7
5
(7)
9
7
11
7
3
1
U1 = 0
17
19
11
8
(4)
7
(13)
5
0
U2 = 3
10
4
0
6
5
3
(7)
1
(3)
U3 = -1
19
0
(4)
0
(15)
0
1
0
3
U4 = -5
V1 = 5
V2 = 2
V3 = 4
V4 = 2
2. Складаємо початковий опорний план методом найменшої вартості: починаємо завантажувати з клітини з найменшою вартістю (С34 = 1), в яку пишемо min (3, 3) = 3 (т.к. у постачальника А2 -3 од. Вантажу, а споживачеві В потрібно 3 од. вантажу), далі з решти клітин завантажуємо знову клітку з найменшою вартістю і так до тих пір, поки всі запаси не будуть вичерпані, а всі запити - Задоволені. Загалом має бути завантажено 4 +4-1 = 7 клітин.
Знайдемо значення цільової функції при отриманому плані перевезень
Z (X) = 7 * 5 +4 * 0 +4 * 8 +15 * 0 +13 * 7 +7 * 3 +3 * 1 = 35 +32 +91 +21 +3 = 182
3. Перевіряємо план на оптимальність
- кожному постачальнику ставимо у відповідність число Ui , А кожному споживачу - число Vj , Звані потенціалами.
- для кожної В«завантаженоїВ» клітини складемо рівняння Ui + Vj = Cij. В результаті отримаємо систему, що складається з 7 рівнянь з 8-ма невідомими. Щоб знайти рішення цієї системи однієї із змінних надаємо конкретне числове значення (наприклад, U1 = 0), тоді всі інші змінні знаходяться однозначно.
U2 = 3
U1 + V1 = 5 V1 = 5 U3 = -1
U2 + V2 = 8 U1 = 0 V2 = 3 U4 = -5
U2 + V3 = 7 V3 = 4
U3 + V3 = 3 V4 = 2
U3 + V4 = 1
U4 + V1 = 0
U4 + V2 = 0
- для кожної В«порожнійВ» клітини обчислюємо оцінку
Sij = Cij-(Ui + Vj)
S12 = 9 - (0 +2) = 7 S21 = 19 - (3 +5) = 11 S32 = 6 - (-1 +2) = 5
S13 = 11 - (0 +4) = 7 S24 = 5 - (3 +2) = 0 S43 = 0 - (-5 +4) = 1
S14 = 3 - (0 +2) = 1 S31 = 4 - (-1 +5) = 0 S44 = 0 - (-5 +2) = 3
Т.к. серед оцінок немає негативних, то отриманий план є оптимальним.
Відповідь: план перевезень витрати на перевезення
7 0 0 0
Х = 0 4 13 0 Z (Х) = 182.
0 0 3 7
Список літератури
1. Вища математика. Керівництво вирішення задач. частина 1. Лунгу К.Н., Макаров Є.В. 2005 м., 216с.;
2. Конспект лекцій з вищої математики: повний курс. Письмовий Д.Т., 2006 р. 4-е изд., 608 с.;
3. Практикум з вищої математики для економістів. Кремер Н.Ш., 2002 р., 423 с.
