Муніципальне Освітнє Установа
Гімназія № 26
Реферат
Геометрія
Основні види многогранників та їх властивості
Виконала:
Учениця 9-1 класу
Байсакова Ляззат
Викладач:
Сисоєва Олена Олексіївна
Челябінськ
План
Введення
Багатогранна поверхню. Багатогранник
Піраміда
Призма
Паралелепіпед
Обсяг тіла
Висновок
Список використаної літератури
Введення
До теперішнього часу в курсі геометрії ми займалися планіметрії - Вивчали властивості плоских геометричних фігур, тобто фігур, повністю розташованих в площині. Але більшість оточуючих нас предметів не є повністю плоскими, вони розташовані в просторі. Розділ геометрії, в якому вивчають властивості фігур в просторі, називається стереометрії ( від ін грец. ПѓП„ОµПЃОµПЊП‚, "Стереос" - "твердий, просторовий" і ОјОµП„ПЃОП‰ - "Вимірюю").
Основними фігурами в просторі є точка , пряма і площину . Поряд з даними найпростішими фігурами в стереометрії розглядаються геометричні тіла та їх поверхні. При вивченні геометричних тіл, користуються зображеннями на кресленні.
Малюнок 1 Малюнок 2
На малюнку 1 зображена піраміда, на малюнку 2 - куб. Дані геометричні тіла називаються многогранниками. Розглянемо деякі види і властивості многогранників.
Багатогранна поверхню. Багатогранник
Багатогранною поверхнею називають об'єднання кінцевого числа плоских багатокутників таке, що кожна сторона будь-якого з багатокутників є в той же час стороною іншого (але тільки одного) багатокутника, званого суміжним з першим багатокутником.
Від будь-якого з багатокутників, складових багатогранну поверхню, можна дійти до будь-якого іншого, рухаючись по суміжних багатокутника.
Багатокутники, складові багатогранну поверхню, називаються її гранями; сторони многокутників називаються ребрами, а вершини - вершинами багатогранної поверхні.
На рис.1 зображені об'єднання багатокутників, що задовольняють зазначеним вимогам і є багатогранними поверхнями. На рис.2 зображені фігури, що не є багатогранними поверхнями.
Багатогранна поверхню ділить простір на дві частини - внутрішню область багатогранної поверхні і зовнішню область. З двох областей зовнішньої буде та, в якій можна провести прямі, цілком належать області.
5 Об'єднання багатогранної поверхні і її внутрішньої області називають багатогранником. При цьому багатогранну поверхню і її внутрішню область називають відповідно поверхнею і внутрішньою областю багатогранника. Грані, ребра і вершини поверхні багатогранника називають відповідно гранями, ребрами і вершинами многогранника.
Піраміда
Багатогранник, одна з граней якого - довільний многогранник, а інші грані - трикутники, мають одну спільну вершину, називається пірамідою.
Багатокутник називається підставою піраміди, а інші грані (Трикутники) називаються бічними гранями піраміди.
Розрізняють трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д. піраміди в залежності від виду багатокутника, що лежить в основі піраміди.
Трикутну піраміду також називають тетраедром. На рис.1 зображена чотирикутна піраміда SABCD з основою ABCD і бічними гранями SAB, SBC, SCD, SAD.
Сторони граней піраміди називаються ребрами піраміди. Ребра, що належать основи піраміди, називають ребрами підстави, а всі інші ребра - бічними ребрами. Загальна вершина всіх трикутників (бічних граней) називається вершиною піраміди (На рис.1 точка S - вершина піраміди, відрізки SA, SB, SC, SD - бічні ребра, відрізки АВ, ВС, CD, AD - ребра підстави).
Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного з вершини піраміди S до площини підстави (кінцями цього відрізка є вершина піраміди і підстава перпендикуляра). На рис.1 SO - висота піраміди.
Правильна піраміда. Піраміда називається правильною, якщо підставою піраміди є правильний багатокутник, а ортогональна проекція вершини на площину підстави збігається з центром багатокутника, що лежить в основі піраміди.
Всі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою; всі бічні грані - рівні рівнобедрені трикутники.
Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемой цієї піраміди. На рис.2 SN - апофема. Всі апофемой правильної піраміди рівні між собою.
Призма
Багатогранник, дві грані якого - рівні n -косинці, лежачі в паралельних площинах, а решта n граней - паралелограми, називається n -вугільної призмою.
багатогранник піраміда призма паралелепіпед
Пару рівних n -косинців називають підставами призми. Інші грані призми називають її бічними гранями, а їх об'єднання - бічною поверхнею призми. На рис.1 зображена п'ятикутна призма.
Сторони граней призми називають ребрами, а кінці ребер - вершинами призми. Ребра, які не належать основи призми, називають бічними ребрами.
Призму, бічні ребра якої перпендикулярні площинам основ, називають прямою призмою. В іншому випадку призма називається похилою.
Відрізок перпендикуляра до площин підстав призми, кінці якого належать цим площинах, називають висотою призми.
Пряма призма, основою якої є правильний багатокутник, називається правильною призмою.
Паралелепіпед
Паралелепіпед - шестигранник, протилежні грані якого попарно паралельні. Паралелепіпед має 8 вершин, 12 ребер; його грані являють собою попарно рівні паралелограми.
Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи (в цьому випадку 4 бічні грані - прямокутники); прямокутним, якщо цей паралелепіпед прямий і підставою служить прямокутник (Отже, 6 граней - прямокутники);
Паралелепіпед , всі грані якого квадрати, називається кубом.
Обсяг Паралелепіпед дорівнює добутку площі його заснування на висоту.
Обсяг тіла
Кожен багатогранник має обсяг, який можна виміряти за допомогою обраної одиниці вимірювання обсягів. За одиницю виміру обсягів приймають куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків. Куб з ребром 1 см називається кубічним сантиметром . Аналогічно визначається кубічний метр і кубічний міліметр , і т.д.
У процесі вимірювання обсягів при обраної одиниці виміру об'єм тіла виражається позитивним числом, яке показує, скільки одиниць вимірювання обсягів і її частин укладається в цьому тілі. Число, що виражає об'єм тіла, залежить від вибору одиниці виміру обсягів. Тому одиниця виміру обсягів вказується після цього числа.
Основні властивості об'ємів:
1. Рівні тіла мають рівні обсяги.
2. Якщо тіло складене з нескольно тіл, то його об'єм дорівнює сумі обсягів цих тіл.
Для знаходження об'ємів тіл в ряді випадків зручно користуватися теоремою, що отримала назву принцип Кавальєрі .
Принцип Кавальєрі полягає в наступному: якщо при перетині двох тел будь площиною, паралельної деякій заданій площині, виходять перетину рівної площі, то обсяги тел рівні між собою.
Висновок
Отже, многогранники вивчає розділ геометрії під назвою стереометрія. Многогранники бувають різних видів (піраміда, призма і т.д.) і мають різні властивості. Також, слід зазначити, що многогранники на відміну від плоских фігур мають об'єм і розташовуються в просторі.
Більшість навколишніх предметів знаходяться в просторі, і вивчення багатогранників допомагає нам скласти уявлення про навколишнє нас реальності з точки зору геометрії.
Список використаної літератури
1. Геометрія. Підручник для 7-9 класів.
2. Автори: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна.
3. Вікіпедія
4. Math.ru
5. Словник
6. Fizmatik.ru
