Реферат з дисципліни:
В«МатематикаВ»
на тему: В«Основні етапи становлення і структура сучасної математики В»
Виконала: студентка 1 курсу
Заочного відділення
групи ПБ-1Во
Перевірив:
р. Москва 2006 р.
План:
Введення
Геометрія Евкліда, як першого природничонаукового теорія
Основні етапи становлення сучасної математики. Структура сучасної математики
Основні риси математичного мислення
Аксіоматичний метод
Принципи аксіоматичного побудови наукових теорій
Математичні докази
Використана література
геометрія математика аксіометріческій
Введення
Математика - це наука про кількісних відносинах і просторових формах дійсного світу. У нерозривному зв'язку з запитами науки і техніки запас кількісних відносин і просторових форм, досліджуваних математикою, безперервно розширюється, так що наведене визначення необхідно розуміти в найзагальнішому сенсі.
Метою вивчення математики є підвищення загального кругозору, культури мислення, формування наукового світогляду.
Розуміння самостійного положення математики як особливої вЂ‹вЂ‹науки стало можливим після накопичення досить великого фактичного матеріалу і виникло вперше в Стародавній Греції в VI-V століттях до нашої ери. Це було початком періоду еле
ментарної математики.
Протягом цього періоду математичні дослідження мають справу лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли з самими простими запитами господарського життя. Разом з тим, вже відбувається якісне вдосконалення математики як науки.
Сучасну математику часто порівнюють із великим містом. Це - прекрасне порівняння, оскільки в математиці, як і у великому місті, відбувається безперервний процес зростання і вдосконалення. В математиці виникають нові галузі, будуються витончені і глибокі нові теорії подібно будівництву нових кварталів і будинків. Але прогрес математики не зводиться тільки до зміни особи міста через будівництва нового. Доводиться змінювати і старе. Старі теорії включаються в нові, більш загальні; виникає необхідність зміцнення фундаментів старих будівель. Доводиться прокладати нові вулиці, щоб встановлювати зв'язки між далекими кварталами математичного міста. Але цього мало - архітектурне оформлення вимагає значних зусиль, оскільки різностильові різних областей математики не тільки псує загальне враження від науки, але й заважає розумінню науки в цілому, встановленню зв'язків між різними її частинами.
Нерідко використовується і інше порівняння: математику уподібнюють великим гіллястому дереву, яке, систематично дає нові пагони. Кожна гілка дерева - це та чи інша область математики. Число гілок не залишається незмінним, оскільки виростають нові гілки, зростаються воєдино спочатку росшие роздільно, деякі з гілок засихають, позбавлені поживних соків. Обидва порівняння вдалі і дуже добре передають дійсне становище.
Безсумнівно, що в побудові математичних теорій велику роль відіграє вимога краси. Само собою зрозуміло, що відчуття краси вельми суб'єктивно і нерідко зустрічаються досить потворні уявлення на цей рахунок. І все ж доводиться дивуватися тому одностайності, яке вкладається математиками в поняття В«красаВ»: результат вважається гарним, якщо з малого числа умов вдається отримати загальний висновок, що відноситься до широкого кола об'єктів. Математичний висновок вважається гарним, якщо в ньому простими і короткими міркуваннями вдається довести значний математичний факт. Зрілість математика, його талант вгадуються по тому, наскільки розвинене в нього почуття краси. Естетично завершення і математично вчинені результати легше зрозуміти, запам'ятати і використовувати; легше виявляти та їх взаємини з іншими областями знання.
Математика в наш час перетворилася в наукову дисципліну з безліччю напрямів досліджень, величезною кількістю результатів і методів. Математика тепер настільки велика, що немає можливості одній людині охопити її в усіх її частинах, немає можливості бути в ній фахівцем-універсалом. Втрата зв'язків між її окремими напрямками - безумовно негативне наслідок бурхливого розвитку цієї науки. Однак в основі розвитку всіх галузей математики є спільне - витоки розвитку, коріння древа математики.
Геометрія Евкліда як першого природничонаукового теорія
У III столітті до нашої ери в Олександрії з'явилася книга Евкліда з тією ж назвою, в російській перекладі "Початки". Від латинської назви "Почав" відбувся термін "Елементарна геометрія". Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяку думку про ці твори по "Початках" Евкліда. У "Початках" є розділи, логічно дуже мало зв'язані з іншими розділами. Поява їх пояснюється тільки тим, що вони внесені за традицією і копіюють "Початки" попередників Евкліда.
"Початки" Евкліда складаються з 13 книг. 1 - 6 книги присвячені планіметрії, 7 - 10 книги - про арифметику і несумірні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 присвячені стереометрії.
"Початки" починаються з викладу 23 визначень і 10 аксіом. Перші п'ять аксіом - "Загальні поняття", інші називаються "постулатами". Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій - за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, "усі прямі кути рівні між собою ", є зайвим, так як його можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий постулат говорив: "Якщо пряма падає на дві прямі і утворює внутрішні односторонні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих ".
П'ять "загальних понять "Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, обсягів: "рівні тому самому рівні між собою", "якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою "," якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою "," суміщають один із одним рівні між собою "," ціле більше частини ".
Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда по трьох причинах: за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки; за те, що він розривав геометрію й арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільш сильно критикували п'ятий постулат, найскладніший постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: "Через точку поза прямою можна провести в їх площині не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму ".
Критика розриву між геометрією й арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Спори про п'ятий постулат привели до того, що на початку XIX століття Н. І. Лобачевського, Я.Бойяі і К.Ф.Гаусс побудували нову геометрію, в якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану ". Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда.
Модель планіметрії Лобачевського на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 році.
На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом ( x ). Точки евклідовій площині, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита полуплоскость, лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги окружностей з центром...
