Зміст
Введення
1. Нелокальна гранична задача О™ роду
2. Нелокальна гранична задача II роду
Література
рівняння спектральний нелокальний диференціальний
Введення
У сучасній теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними важливе місце займають дослідження вироджуються гіперболічних і еліптичних рівнянь, а також рівнянь змішаного типу. Рівняння змішаного типу стали вивчатися систематично з кінця 40-х років, після того, як Ф.І. Франкль вказав їх додатки в навколозвуковою і надзвуковий газовій динаміці. Пізніше І.М. Векуа були знайдені додатка цих рівнянь і в інших розділах фізики і механіки, в Зокрема, в теорії нескінченно малих згинань поверхонь і безмоментной теорії оболонок. Також підвищений інтерес до цих класів рівнянь пояснюється як теоретичної значимістю отриманих результатів, так і їх численними додатками в гідродинаміці, в різних розділах механіки суцільних середовищ, акустиці, в теорії електронного розсіювання і багатьох інших областях знань. Дослідження останніх років також показали, що такі рівняння є основою при моделюванні біологічних процесів.
Початок досліджень крайових задач для рівнянь змішаного типу було покладено в роботах Ф. Трікомі і С. Геллерстедта. Надалі основи теорії рівнянь змішаного типу були закладені в роботах Ф.І. Франкля, А.В. Біцадзе, К.І. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец та багатьох інших авторів. Результати, отримані ними та їх послідовниками наведені в монографіях А.В. Біцадзе [4], Л. Берс [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураєва [7], М.М. Смирнова [14], Є.І. Моїсеєва [9], К.Б. Сабітова [12], М.С. Салахітдінова [13].
Серед крайових задач особливе місце займають нелокальні задачі. Нелокальні задачі для диференціальних рівнянь розглядалися в
роботах Ф.І. Франкля [15], А.В. Біцадзе і А.А. Самарського [3], В.А. Ільїна, Є.І. Моїсеєва, Н.І. Іонкіна, В.І. Жегалова [8], А.І. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькіной [10], О.А. Рєпіна [11], А.Л. Ськубачевський, А.П. Солдатова та інших.
Особливо виділимо роботу А.В. Біцадзе і А.А. Самарського [3], яка спричинила за собою систематичне вивчення нелокальних крайових задач для еліптичних та інших типів рівнянь.
Перші фундаментальні дослідження вироджуються гіперболічних рівнянь були виконані Ф. Трікомі на початку минулого століття. Для рівняння
(0.1)
він поставив наступну задачу: нехай область, обмежена при гладкої кривої з кінцями в точках і осі а при характеристиками рівняння (0.1). Потрібно знайти функцію (відрізок осі), задовольняє рівнянню (0.1) в і приймаючу задані значення на Ф. Трікомі довів існування і єдиність вирішення цього завдання за певних додаткових вимогах щодо поведінки в гладкості граничних даних і характеру дуги. Ця крайова завдання і рівняння (0.1) називаються зараз завданням і рівнянням Трікомі.
М.А. Лаврентьєв з метою спрощення досліджень крайових задач для рівнянь змішаного типу запропонував нове модельне рівняння
(0.2)
Докладне дослідження завдання Трікомі і її різних узагальнень для рівняння (0.2) провів А.В. Біцадзе. Рівняння (0.2) називають зараз рівнянням Лаврентьєва-Біцадзе.
Нахушев А.М. встановив критерій єдиності розв'язку задачі Діріхле для рівнянь змішаного типу в циліндричної області.
У роботах Сабітова К.Б. досліджена задача Діріхле для вироджується рівняння змішаного типу
в прямокутній області. Методами спектрального аналізу встановлено критерій єдиності і доведена теорема існування розв'язку задачі Діріхле.
Викладений в роботах Є.І. Моїсеєва, К.Б. Сабітова спектральний метод застосовано при обгрунтуванні коректності постановки нелокальних начально-граничних і граничних задач для різних типів вироджуються диференціальних рівнянь.
Метою даної роботи є доказ єдиності та існування рішення наступних завдань:
Розглянемо вироджується рівняння
(0.3)
де в прямокутній області
задані позитивні числа, і для нього досліджуємо наступну нелокальну задачу.
Задача 1. Знайти в області функцію, задовольняє умовам:
; (0.4)
; (0.5)
(0.6)
(0.7)
де і задані достатньо гладкі функції, причому
Для того ж рівняння досліджена і наступна задача:
Завдання 2. Знайти в області функцію, задовольняє умовам:
(0.8)
; (0.9)
(0.10)
(0.11)
де і - задані достатньо гладкі функції, причому
,,
Для зазначених завдань встановлено критерії їх однозначної розв'язності. Рішення отримані явно у вигляді відповідних рядів.
1. Нелокальна гранична задача О™ роду
Розглянемо вироджується рівняння змішаного типу
(1)
де в прямокутній області задані позитивні числа, і для нього досліджуємо наступну нелокальну задачу.
Задача 1. Знайти в області функцію, задовольняє умовам:
; (2)
; (3)
(4)
(5)
де і задані достатньо гладкі функції, причому
Нехай рішення задачі (2) Розглянемо функції
(6)
(7)
(8)
Диференціюючи двічі рівність (8), враховуючи рівняння (1) і умови (4), отримаємо диференціальне рівняння
(9)
з граничними умовами
, (10)
(11)
Загальне рішення рівняння (9) має вигляд
де і функції Бесселя першого і другого роду відповідно, модифіковані функції Бесселя, і довільні постійні,
Підберемо постійні і так, щоб виконувалися рівності
(13)
Спираючись на асимптотичні формули функцій Бесселя
і модифікованих функцій Бесселя
в околиці нуля, перше з рівностей (13) виконано при і будь-яких та, а друге рівність виконано при
Підставимо отримані вирази для постійних та в (12), тоді функції візьмуть вид
Відзначимо, що для функцій (14) виконана рівність
Звідси і з рівностей (13) випливає, що є продовженням рішення на проміжок і, навпаки, є продовженням рішення на проміжок. Отже, функції (14) належать класу і задовольняє рівнянню (9) всюди на. Тепер на підставі (10) і (11) отримаємо систему для знаходження і:
(15)
Якщо визначник системи (15):
(16)
то дана система має єдине рішення
(17)
. (18)
З урахуванням (17) і (18) з (14) знайдемо остаточний вигляд функцій
(19)
Де
(20)
(21)
(22)
(23)
Диференціюючи двічі рівність (7) з урахуванням рівняння (1) і умов (4) для функції, отримаємо однорідне диференціальне рівняння
(24)
з граничними умовами
(25)
Рішення задачі (24) і (25) буде мати вигляд
(26)
Аналогічно для функції отримуємо неоднорідне рівняння
(27)
з граничними умовами
(28)
(29)
Загальне рішення рівняння (27) має вигляд
Рівності будуть виконуватися при наступних значеннях постійних
,
при будь-яких і Підставимо вирази для постійних та в (30), тоді функції візьмуть вид
(31)
Для знаходження і на підставі (28) і (29) отримаємо систем
(32)
Якщо виконана умова (16), то і визначаються по формулами:
(33)
, (34)
Знайдені значення і за формулами (33) та (34) підставимо в (31), тоді функції будуть однозначно побудовані в явному вигляді:
(35)
З формул (19), (26), (35) слід єдиність розв'язку задачі (2) так як якщо на, то, для на Тоді з (6) маємо:
Звідси в силу повноти системи
в просторі випливає, що функція майже всюди на при будь-якому.
Таким чином, нами доведена наступ...
