Глава I.Понятіе про геометричному перетворенні
1.1 Що таке геометричне перетворення?
Осьова симетрія, центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення, гомотетия мають те спільне, що всі вони "перетворять" кожну фігуру F в деяку нову фігуру F1. Тому їх називають геометричними перетвореннями.
Взагалі, геометричним перетворенням називають всяке правило, що дозволяє для кожної точки А на площині вказати нову точку A ', в яку переводиться точка А розглянутим перетворенням. Якщо на площині задана якась фігура F, то множина всіх точок, в які переходять тонкі фігури F при розглянутому перетворенні, являє собою нову фігуру F., В цьому випадку говорять, що F ' виходить з F за допомогою розглянутого перетворення.
Приклад. Симетрія відносно прямої l є геометричним перетворенням. Правило, що дозволяє по точці A знайти відповідну їй точку А ', в цьому випадку полягає в наступному: з точки А опускається перпендикуляр АР на пряму l і на його продовженні за точку Р відкладається відрізок РА '= АР.
Додавання геометричних перетворень
Припустимо, що ми розглядаємо два геометричних перетворення, одне з яких називаємо "Першим", а інше - "другим". Візьмемо на площині довільну точку А і позначимо через А 'ту точку, в яку переходить А при першому перетворенні. У свою чергу точка А 'переклад другого перетворенням в деяку нову точку А ". Інакше кажучи, точка А "виходить із точки А за допомогою послідовного застосування двох перетворень - спочатку першого, а потім другого.
Результат послідовного виконання взятих двох перетворень також представляє собою геометричне перетворення: воно переводить точку А в точку А ". Це "Результуюче" перетворення називається сумою першого і другого розглянутих перетворень.
Нехай на площині задана якась фігура F. Перше перетворення переводить її в деяку фігуру F ' . Другим перетворенням ця фігура F ' переводиться в деяку нову фігуру F''. Сума ж першого і другого перетвор
ень відразу переводить фігуру F в фігуру F ".
Приклад. Нехай перше перетворення являє собою симетрію відносно точки О1 а друге перетворення - симетрію відносно іншої точки О2. Знайдемо суму цих двох перетворень.
Нехай А - довільна точка площини. Припустимо спочатку, що точка A не лежить на прямій O1O2. Позначимо через А 'точку, симетричну точці А відносно О1, а через A " - Точку, симетричну точці A ' щодо О2. Так як О1O2 - Середня лінія трикутника АА'А'' то відрізок АА "паралельний відрізку О1O2 і має вдвічі більшу довжину. Напрям від точки А до точки А "збігається з напрямком від точки
О1 до точки О2. Позначимо тепер через МN такий вектор, що відрізки MN і O1 O2 паралельні, відрізок МN в два рази довше відрізка O1О2 і промені МN і O1O2 мають один і той же напрямок. Тоді АА "= МN, т. тобто точка А "виходить із точки А паралельним переносом на вектор МN.
Те ж справедливо і для точки, що лежить на прямій O1О2.
Остаточно ми отримуємо: сума симетрії відносно точки O1 і симетрії відносно точки O2 являє собою паралельний, перенесення.
1.2 Руху
Осьова симетрія, поворот (зокрема, центральна симетрія) і паралельний перенос мають те загальне, що кожне з цих перетворень переводить будь-яку фігуру F на площині в рівну їй фігуру F '. Перетворення, що володіють цією властивістю, називаються рухами. Гомотетия являє собою приклад перетворення, не є рухом. Дійсно, кожен рух переводить будь-яку фігуру в рівну їй фігуру, тобто змінює лише положення фігур на площині; гомотетия ж змінює і розміри фігур.
Роль рухів в геометрії
Рухи грають в геометрії надзвичайно важливу роль. Вони не змінюють ні форми, ні розмірів фігур, змінюючи лише розташування фігури. Але фігури, що відрізняються лише своїм розташуванням на площині, з точки зору геометрії абсолютно однакові. Саме тому їх і називають в геометрії В«рівними фігурамиВ». Ні одна властивість геометричної фігури не відрізняється від відповідного властивості рівної їй фігури. Так, наприклад, рівні трикутники мають не тільки однакові сторони, але й однакові кути, медіани, бісектриси, площі, радіуси вписаного та описаної окружностей і так далі.
На уроках геометрії ми завжди вважали рівні фігури (тобто такі, які можна поєднати за допомогою руху) однаковими або нерозрізненими. Такі фігури часто приймають за одну й ту саму фігуру. Саме тому ми можемо сказати, що, наприклад, задача побудови трикутника за двома сторонами а, b і укладеним між ними кутку С має тільки одне рішення. Насправді, звичайно, трикутників, що мають дані сторони а і b і укладений між ними кут С даної величини, можна знайти нескінченно багато. Однак всі ці трикутники однакові, рівні, тому їх можна прийняти за В«ОдинВ» трикутник.
Таким чином, геометрія вивчає ті властивості фігур, які однакові у рівних фігур. Такі властивості можна назвати В«геометричними властивостямиВ». Іншими словами: геометрія вивчає властивості фігур, які не залежать від їх розташування. Але фігури, відрізняються тільки розташуванням (рівні фігури), - це ті, які можна поєднати з допомогою руху. Тому ми приходимо до наступного визначення предмета геометрії; геометрія вивчає ті властивості фігур, які зберігаються при рухах.
Рухи в геометрії та фізики
Отже, поняття руху грає в геометрії першорядну роль. Руху (В«накладенняВ») використовувалися в VI класі для визначення рівних фігур, для доказу ознак рівності трикутників; поняття руху, як ми бачили вище, дозволяє також дати опис предмета геометрії.
Між тим у визначеннях поняття рівності фігур і поняття руху мається пробіл. В Насправді, рівні фігури визначалися (у VI класі) як такі постаті, які можуть бути суміщені накладенням (тобто рухом). Рухи ж були визначені вище як такі перетворення, які переводять два многокутники F1 і F такі, що існує багатокутник F ', гомотетічний F і рівний F1, то кути багатокутника F відповідно дорівнюють кутам багатокутника F ' і сторони багатокутника F відповідно, пропорційні сторонам багатокутника F '. Але у багатокутника F ті ж самі кути і сторони, що й у рівного йому багатокутника F1. Отже, багатокутники F1 і F подібні в тому сенсі, в якому це розумілося в курсі геометрії VIII класу.
Зворотно, нехай багатокутники F1 і F такі, що їх кути відповідно рівні і сторони відповідно пропорційні. Відношення сторін багатокутника F1 до відповідних сторонам багатокутника F позначимо через k. Далі, позначимо через F 'багатокутник, получающийся з F гомотетії з коефіцієнтом k (і яким завгодно центром гомотетії. У такому випадку в силу теореми багатокутники F ' і F1 матимуть відповідно рівні сторони і кути, тобто ці багатокутники будуть рівні. Тому багатокутники F1 і F будуть подібні і в значенні наведеного тут визначення подібності.
Глава II.Аффінние перетворення
2.1 Афінний перетворення площині
афінної перетворенням О± називається таке перетворення площини, яке всяку пряму переводить в пряму і зберігає відношення, в якому точка ділить відрізок.
На рис.1: L '= О± (L), A '= О± (A), B '= О± (B), C '= О± (C), |
рис. 1
Перетворення - рух і подобу - є окремими випадками афінних, так як в силу властивостей руху і подібності для них виконані всі вимоги визначення афінних перетворень.
Наведемо приклад афінної перетворення, не зводиться до раніше розглянутим. З цією метою спочатку розглянемо паралельне проектування площині на площину.
Нехай дани площині: w і w1 пряма l (напрямок проектування), не паралельна ні одній з цих площин (рис.2). Точка Аєw називається проекцією точки А1єw1, якщо АА1 | | l, то пряма АА1 називається проектуючої прямий. Паралельне проектування являє собою відображення площині w1 на w.
рис.2
Відзначимо наступні властивості паралельного проектування.
1) Чином всякої прямої а1 є пряма.
В Насправді, прямі, які проектують точки прямої а...
