Криві, задані в полярних координатах
Р.Л. Ткачук
Вологда
Введення
Тема В«Полярна система координатВ» дозволяє познайомити учнів з красивими результатами математичної науки.
Полярна система координат на площині визначається завданням точки O (Полюс), променя Ох (полярна вісь) і одиничного відрізка т. Крім того, повинен бути зазначений поворот променя Ох, званий позитивним. Нехай це буде поворот в напрямку проти руху годинникової стрілки. Повороти променя, чинені в напрямку, протилежному позитивному, будемо називати негативними.
Нехай М - довільна точка площини, не збігається з полюсом. Позначимо через довжину відрізка ОМ, а через - величину кута, утвореного променями Ох і ОМ. Числа і такі, що р> 0 і 0 ф <2ПЂ, іменують полярними координатами точки М. Число називають першою полярної координатою, або полярним радіусом, число - другий полярної координатою, або полярним кутом (рис. 1) Якщо точка М збігається з полюсом, то = 0, а полярний утамувати вважаємо рівним нулю. Зауважимо, що при заданих нами умовах> 0, 0 ≤ <2ПЂ, полярні координати будь-якої точки визначаються однозначно.
Введення таких координат дуже природно, адже місцезнаходження будь-якої точки на земній поверхні для нерухомого спостерігача зручно визначати за допомогою відстані від спостерігача до цієї точки і напрямки до точки від спостерігача (в цьому випадку точка, в якій перебуває спостерігач, служить полюсом).
Школярам можна нагадати, що в повісті Р. Л. Стівенсона В«Острів скарбівВ» описано, як старий пірат Флінт визначив місце розташування закопаного скарбу: В«Десять футів до північ від високого дерева на схилі Підзорної Труби В»(рис. 2).
Побудова кривих, заданих полярними рівняннями, має деякі специфічні особливості, які ми проілюструємо на прикладах. Як відомо, математики Стародавньої Індії замінювали докази теорем геометричним кресленням, супроводжуючи його короткою підписом: В«Дивись!В». Ми користувалися тим же принципом, замінивши довгі роз'яснення малюнками, з яких видно всі властивості кривих.
В Надалі, при побудові кривих ми дозволимо кутку приймати будь-які невід'ємні значення, виділяючи на малюнках жирною лінією фрагменти кривих, виходять при обме-нии 0 ≤ <2ПЂ.
Алгебраїчні спіралі
Спочатку розглянемо так звані алгебраїчні спіралі, тобто криві, полярні рівняння яких є алгебраїчними відносно і і мають вигляд F (,) = 0, ≥ 0, ≥ 0. Якщо перейти до прямокутній системі координат, то ці рівняння вже не будуть алгебраїчними відносно х і у. Криві, що задаються такими рівняннями, прийнято називати трансцендентними.
Досить громіздкі декартові рівняння спрощуються при переході до полярній системі координат. Залежність між полярними і декартовими координатами вельми проста.
Нехай полюс O збігається з початком декартової системи координат, полярна вісь сполучена з позитивним напрямком осі Ох; М (х; у) - довільна точка декартовій площині. Легко переконатися, що
І назад:
x =
Спіраль Архімеда
=.
Помістимо точку на секундну стрілку годинника і будемо перемішати точку вздовж секундної стрілки з постійною швидкістю, не звертаючи уваги на рівномірний рух стрілки годинника по колу. Тоді точка опише криву, називану спіраллю Архімеда. Винахід цієї кривої приписується Конону Самоський, хоча її основні властивості описав саме Архімед (бл. 287-212 рр.. до н.е.). Архімед, в Зокрема, було відомо, що відстань між двома послідовними витками спіралі є постійною величиною і дорівнює 2ПЂ (рис. 3).
речі, в силу цієї особливості в розташуванні витків реальний образ спіралі Архімеда можна бачити, наприклад, спостерігаючи туго загорнутий рулон паперу з його торцевій боку.
На позакласних заняттях корисно показати побудова першого витка спіралі Архімеда.
Накреслимо окружність. Розділимо її і радіус ОА на п рівних частин.
Нехай n = 8. Проведемо до всіх точок ділення промені з центру Про окружності і пронумеруємо їх (рис. 4). На промені 1 відзначимо точку на відстані = ОА від центра кола. На промені 2 відзначимо точку на відстані = ОА, на луче 3 - точку на відстані = ОА і т.д. На промені 8 поставимо крапку на відстані = ОА.
Поєднавши послідовно плавною кривою отримані точки, ми побачимо перший виток спіралі Архімеда. Побудова буде тим точнішим, чим більше точок ділення радіусу і окружності буде вибрано спочатку.
Спіраль Архімеда використовується як лінії, що дозволяє розділити заданий кут на будь-яку кількість рівних частин. У деяких готовальні в старовину до складу робочих інструментів входила металева пластинка з ретельно вигравіруваним на ній спіраллю Архімеда. За допомогою такого пристосування було неважко розділити кут на кілька рівних частин. Наприклад, для трисекции кута ВАС досить прикласти пластину її рівною частиною до одного з променів кута (Рис. 5) і поділити вийшов відрізок АВ на 3 рівні частини. На дузі спіралі слід зробити зарубки радіусом АТ = - АВ. Тоді кут САО буде дорівнює одній третини кута ВАС.
В області техніки спіраль Архімеда знаходить застосування в так званих кулачкових механіз-мах, які перетворять обертальний рух шайби в поступальний рух стержня. У деяких механізмах (наприклад, у годинах) вимагається, щоб стрижень рухався рівномірно. Забезпечити це можна, окресливши профіль шестерінки по спіралі Архімеда.
В Як другий об'єкта для застосування спіралі Архімеда в техніці можна привести самоцентруючийся патрон (рис. 6), направляючі канавки якого виконані по спіралі Архімеда. При одному повороті диска цього патрона кулачки переміщаються на величину радіального відстані суміжних канавок.
Крім того, форму спіралі Архімеда мають звукова доріжка на грамплатівці і одна з деталей швейних машин - механізм для рівномірного намотування ниток на шпульку.
Логарифмічна спіраль
lg =, =. При = 0 отримуємо = 1. При в†’ + в€ћ видно, що в†’ + в€ћ і спіраль розгортається проти ходу годинникової стрілки (рис. 7)
логарифмічна спіраль описує точка, що рухається по секундної стрілкою не з постійною швидкістю (як у випадку Архімедова спіралі), а із зростаючою, причому це зростання пропорційно відстані від центру годинника.
логарифмічна спіраль можна побудувати за допомогою так званого золотого прямокутника, тобто такого, у якого відношення сторін дорівнює золотому перерізу:.
Якщо від золотого прямокутника АВСD відрізати квадрат зі стороною, рівною меншій стороні прямокутника, то знову отримаємо золотий прямокутник ЕFСD, але менших розмірів. Якщо продовжити цей процес далі, а потім з'єднати плавною кривої вершини квадратів, як це зроблено на рис. 8, то отримаємо логарифмічну спіраль.
Логарифмічна спіраль володіє рядом цікавих властивостей:
• відстані між послідовними витками утворюють геометричну прогресію;
• послідовність довжин радіусів, що утворюють однакові кути один з одним, також складає геометричну прогресію;
• утворюються в процесі розширення сектори, що відсікаються такими радіусами, подібні один одному.
Логарифмічна спіраль часто зустрічається в природі і пов'язана з певними видами росту. У дуже багатьох молюсків послідовні витки раковини не однакові, а всі більш і більш товщають. У багатьох випадках наближені значення товщини послідовних витків утворюють геометричну прогресію. Хоча саму раковину молюска не можна назвати живою, вона утворюється зростаючим організмом. Один з найпростіших способів нарощування нової речовини автоматично призводить до утворення деякої фігури, дуже близькою до логарифмічної спіралі. Під багатьох раковинах виявляється вражаюче близький збіг між результатами вимірювань і теоретичними значеннями, очікуваними для точної логарифмічної спіралі (рис. 9). У ...