М.І. Векслер, Г.Г. Зегря
Такі завдання можуть бути вирішені як із залученням теореми Гауса, так і за допомогою інтегрування рівняння Пуассона. Рівняння Пуассона більш зручно, якщо де-небудь (тобто на будь-яких поверхнях) потрібно забезпечити наперед задані величини потенціалу. Теорема Гаусса дає перевагу, якщо в задачі задані тільки заряди. Якщо потенціал вже заданий формулою, то, а далі просто використовується рівняння Максвелла для знаходження заряду.
Задача. П† (r) = ar3 + b всередині кулі радіуса R проникності Оµ. Знайти ПЃ, ПЃ ', ОЈ'.
Рішення: Поле направлено радіально від центру кулі; всередині воно дорівнює
а поза кулі не потрібно для вирішення. (Але, в принципі, його можна знайти як Er = Q/(4ПЂОµ0r2) після знаходження ПЃ і повного заряду). Щільність заряду ПЃ отримуємо з рівняння Максвелла:
ПЃ (r)
=
=
Для знаходження ПЃ 'і Пѓ' буде потрібно поляризованность всередині кулі:
Pr = Оµ0 (Оµ-1) Er =-3aОµ0 (Оµ-1) r2
Пов'язані заряди дорівнюють:
Пѓ '| r = R = Pr | r = R-=-3aОµ0 (Оµ-1) r2
Задача. Пластина товщини 2a проникності Оµ заряджена як ПЃ = О± x2. Поклавши П† | x = 0 = 0, написати П† (x), знайти ПЃ 'і Пѓ'.
Рішення: Хоча використання рівняння Пуассона при вирішенні даної задачі цілком можливо, більш зручним представляється застосування теореми Гауса до циліндричної поверхні, що займає область (- в€ћ ... x) уздовж осі x. Таким способом анал
огічна задача розглядалася раніше для випадку Оµ = 1. Зміни потрібні в момент переходу від Dx до Ex в області-a
Тепер можна знайти П† c урахуванням умови П† | x = 0 = 0, застосовуючи формулу
вірну для будь-якого x (і більше, і менше нуля). Відповідно, для кожного з трьох ділянок, на яких знайдено Ex, отримуємо:
П† (x)
=
=
=
Для обчислення густин пов'язаного заряду нам не потрібен потенціал, але потрібно поляризованность всередині пластини (поза вона, природно, дорівнює нулю):
Величини ПЃ 'і Пѓ' дорівнюють:
Пѓ '| x =-a
=
Пѓ '| x = a
=
Вийшло що Пѓ '| x =-a = Пѓ' | x = a, що цілком природно, зважаючи симетрії системи відносно площини x = 0.
Задача. У плоский конденсатор при а) підтримуваному постійним напрузі б) незмінному заряді обкладок - паралельно обкладкам ввели пластину з проникністю Оµ, яка зайняла О·-у частину зазору. Знайти Пѓ 'на гранях пластини. Спочатку поле складало E0.
Відповідь: a); б) Примітка: в процесі вирішення зручно тимчасово ввести відстань між обкладками d і різниця потенціалів U (для "а") або заряд обкладки Пѓ (для "Б"). Природно, введені U (Пѓ) повинні бути узгоджені з відомим E0.
Задача. Усередині заземленого циліндра радіуса R - рівномірно заряджений (ПЃ0) діелектрик Оµ = 1 + О± r. Знайти П† (r), ПЃ ', Пѓ'.
Рішення: Застосовуємо рівняння Пуассона, так як у нас є вимога на потенціал: П† | r = R = 0:
=
=
=
=
Тут A = 0, так як інакше поле, тобто -dП†/dr, виявляється необмеженим у точці r = 0. Потенціал знаходимо інтегруванням dП†/dr в межах від R до r:
П†
=
=
=
Знайдемо ще поляризованность:
Тепер отримуємо пов'язаний поверхневий заряд
і пов'язаний об'ємний заряд:
Задача. Усередині заземленого кулі радіуса R - рівномірно заряджений (ПЃ0) діелектрик Оµ = 1 + О± r. Знайти П† (r), ПЃ ', Пѓ'.
Відповідь: ,
.
Список літератури
1. І.Є. Іродів, Завдання по загальній фізиці, 3-е изд., М.: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с.; або 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник задач з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту edu.ioffe.ru/r
