Виконала: Іллєнко Уляна Ігорівна, студентка 1 курсу, математичного факультету
Запорізький національний університет
Запоріжжя, 2006 рік
Трьом векторах a, b і c можна поставити у відповідність вектор, рівний a Г— (b Г— c). Цей вектор називають подвійним векторним добутком векторів a, b і c. Подвійне векторне твір зустрічається в механіці і фізиці.
Подвійне векторне твір виражається через лінійну комбінацію двох або трьох своїх співмножників за формулою
a Г— (b Г— c) = b (ac) - c (ab).
Доведемо це. Позначимо через x різниця лівої і правої частин цієї рівності
x = a Г— (b Г— c) - b (ac) + c (ab).
Нам достатньо показати, що x = 0.
Припустимо, що вектори b та c колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то у виразі для вектора x всі складові рівні нульового вектору і тому рівність
x = 0 виконане. Якщо ж один з колінеарних векторів b, c ненульовий, наприклад c, то для іншого вектора при деякому О± є R виконана рівність b = О±c. Але тоді
x = a Г— (О±c Г— c)-О±c (ac) + cО± (ac) = 0.
Припустимо тепер, що вектори b та c неколінеарних. Тоді їх векторне твір не дорівнює нульовому вектору і ортогонально ненульового вектора b. Вектори
утворюють правий ортонормованій базис в V3 (це і відбивається в позначеннях). У цьому базисі справедливі наступні розкладання векторів:
b = | b | i, c = c1i + c2k, a = a1i + a2j + a3k,
і тому
b Г— c = - | b |
c2j, a Г— (b Г— c) = - | B | c2 (a1k - a3i).
Крім того,
ac = a1c1 - a3c2, ab = a1 | b |.
У результаті знаходимо, що і у випадку неколінеарних векторів b і c виконана рівність
x = - | b | c2 (a1k - a3i) ​​- (a1c1 - a3c2) | b | i + a1 | b | (c1i + c2k) = 0.
Твір (a Г— b) Г— c ортогонально вектору a Г— b, тобто у випадку, коли вектори a і b НЕ колінеарні, лежить в площині векторів a і b. Отже, воно розкладається по векторах a та b, то Тобто існують такі два числа x і y, що
(a Г— b) Г— c = xa + yb.
Щоб знайти ці числа, ми скористаємося лемою, згідно з якою існують позитивно орієнтований ортонормованій базис е1, е2, е3, пов'язаний з векторами a, b і з формулами
a = a1e1
b = b1e1 + b2e2,
c = c1e1 + c2e2 + c3e3.
У цьому базисі вектор a Г— b має координати (0,0, a1b2), і тому вектор (a Г— b) Г— c - координати
Так як вектор xa + yb має координати (xa1 + yb1, yb2, 0), то, отже, формула (a Г— b) Г— c = xa + yb буде мати місце при
x =-b1c1 - b2c2, y = a1c1.
Оскільки, з іншого боку, А1С1 = ас і b1c1 + b2c2 = bc, цим доведено наступну пропозицію:
ПРОПОЗИЦІЯ. Для будь-яких векторів a, b, c має місце рівність (a Г— b) Г— c = (ac) b-(bc) a.
З цієї формули безпосередньо випливає наступне тотожність Якобі:
(a Г— b) Г— c + (c Г— a) Г— b + (b Г— c) Г— a = 0.
Дійсно, в силу комутативності скалярного множення
(ac) b-(bc) a + (cb) a-(ab) c + (ba) c-(ca) b = 0.
За допомогою формули (a Г— b) Г— c = (ac) b-(bc) a легко обчислюється також скалярний добуток (a Г— b) (x Г— y) двох векторних творів. Дійсно користуючись антікоммутатівностью змішаного твори, ми негайно отримаємо, що
(a Г— b) (x Г— y) = ((xa) y-(ya) x) b = (xa) (yb) - (ya) (xb),
тобто
Визначник в правій частині цієї формули називається взаємним визначником Грама пар векторів a, b і x, y.
При a = x і b = y формула дає формулу
яку можна переписати також у наступному витонченому вигляді:
| a Г— b | 2 + | ab | 2 = a2 b2.
Визначник в правій частині попередньої формули називається визначником Грама пари векторів a і b.
Оскільки | a Г— b | дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах a, b, формула
рівносильна формулою
в якій векторні твори явно не беруть участь. Таким чином, ми бачимо, що визначник Грама пари векторів дорівнює квадрату площі паралелограма, побудованого на цих векторах.
Обчисливши скалярні твори через координати ми негайно отримаємо наступне тотожність Лагранжа:
При а3 = 0, b3 = 0 (В«випадок площиніВ») тотожність Лагранжа рівносильно тотожності
(a21 + a22) (b21 + b22) = (a1b1 + a2b2) 2 + (a1b2 - A2b1) 2,
Відомому з теорії комплексних чисел (тотожність виражає той факт, що твір модулів комплексних чисел a1 + ia2 і b1 + ib2 одно модулю їхні твори).
Аналогом вищенаведених формули і тотожності існує і для трьох векторів a, b, c. У ньому бере участь визначник
званий визначником Грама трійки векторів a, b, c. У координатах щодо ортонормированного базису e1, e2, e3, в якому вектори a, b, c виражаються за формулами
a = a1e1
b = b1e1 + b2e2,
c = c1e1 + c2e2 + c3e3, цей визначник має вигляд
Автоматичне обчислення показує, що він дорівнює a21b22c23. З іншого боку, як ми вже знаємо, a1b2c3 = abc. Таким чином
, тобто
де V - об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c.
Аналог формули має вигляд
де визначник праворуч називається взаємним визначником Грама трійок a, b, c і x, y, z.
Список літератури
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
