Зміст
Вступ
Розділ 1. Теорема Піфагора на площіні
1.1 Різні доведення теореми Піфагора
1.2 Теорема Піфагора та цілочіслові прямокутні трикутника
1.3 Історичні Відомості
1.4 Розв'язування задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометрічній аналог теореми Піфагора
2.1 Теорема (стереометрічній аналог теореми Піфагора)
доведення 1
доведення 2
доведення 3
доведення 4
доведення 5
доведення 6
доведення 7
доведення 8
доведення 9
Висновок
Література
Вступ
Математик - ції тій, хто вміє знаходіті аналогії Між твердженнямі; кращий математик тієї, хто встановлює аналогії доведення; більш сильні математики тієї, хто помічає аналогії теорій; альо можна уявіті собі й такого, хто Між аналогіямі бачіть аналогії. (Стефан Банах)
Аналогія є таким умовідом, при якому, встановівші схожість Будови об'єктів у Деяк властівостях, пріпускають, Що смороду, можливости, Схожі и в інших властівостях.
Відомо, Що в процесі роз В¬ витку науки Висновки за аналогією відіграють велику роль. Аналогія, Як Важливим форма мислення Завжди прівертала до себе УВАГА и Була предметом Дослідження видатних вчених,
міслітелів. Чудові Зразки міркувань за аналогією дали Такі відомі прірододосліднікі, Як Леонардо да Вінчі, Й. Кеплер, Г. Галілей, М.В. Ломоносов, Ч. Дарвін, Д.І. Менделєєв, К. Максвелл, А. Ейнштейн та Інші. За допомог аналогії смороду обґрунтувалі ряд найважлівішіх наукових відкріттів.
Серед цінностей інтелекту В«віщого порядкуВ», Що являються собою найважлівішу Частину математичної освіти, одне з пріорітетніх місць, ймовірно, займає вміння знаходіті и застосовуваті аналогії. Про цею метод поетичній и захоплено говорів Стефан Банах: В«Математик - ції тієї, хто вміє знаходіті аналогії Між твердженнямі; кращий математик тієї, хто встановлює аналогії доведення; більш сильні математики тієї, хто помічає аналогії теорій; альо можна уявіті собі й такого, хто Між аналогіямі бачіть аналогії. В»
Альо більш багатогранно аналогія віявляється у творчій діяльності людини. Велике значення має аналогія для творчого мислення.
Аналогія застосовується в учнівському пізнанні
П.М. Єрднієв вважає, Що володіння розум Овідій за аналогією В«спріяє Як творчості вченого - математика, так и успішному навчанні цієї науки або самостійному вивченості її В».
Роль аналогії однозначно зростає в сучасности умів навчання, коли перед школою Стоїть Завдання озброюваті учнів НЕ Ліше знань, а й методами самостійного здобуття знань.
Звернемо Увага на Основні дідактічні функції аналогії. По-перше, аналогія спріяє більш глибокий осмислення матеріалу, Що вівчається. При цьому застосовується ті види аналогії, які конкретизуються образи и уявлення. По-друге, аналогія при вівченні нового матеріалу допомагає підводіті учнів до визначення нових для них зрозуміти, самостійніх пошуків способу розв'язання Задачі, ефектівної організації Повторення, узагальнення и сістематізації матеріалу.
Вбачаючі в аналогії Великі дідактічні возможности, Вчені Радя корістуватісь нею и вчителю, и учням. Проти слід пам'ятати, Що Висновки в умовиводи за аналогією НЕ Дає відповіді на питання про правільність припущені, ця правільність винна перевірятісь іншімі засоби. Та аналогія Важливим Вже тім, Що вон наводити на здогаді, подає мнение про ті чі Інше припущені. Це Дуже Важливе Як у розвітку науки, так и в вівченні математики.
Звідсі віпліває Актуальність вібраної тими.
Об'єкт дослідження - теорема Піфагора на площині и в просторі;
Предмет дослідження - аналогія Між теореми Піфагора на площині и в просторі;
Мета дослідження - розглянуті в Чому полягає аналогія Між теореми Піфагора на площині и в просторі.
Для реалізації поставленої мети необхідно розв'язати наступні завдання:
- підібраті, опрацюваті та сістематізуваті літературні джерела з обраної тими;
- підібраті, класіфікуваті та зібраті Задачі про теорему Піфагора на площині и в просторі (на доведення та обчислення).
Курсова робота Складається Зі вступити, двох розділів, висновка, списку використаної літератури, Що містіть 3 найменувань.
У вступі візначається об'єкт, предмет, мета та Завдання Дослідження, обґрунтовується Актуальність обраної тими, описана структура курсової роботи.
В Наступний розділах Йде огляд и доведення аналогії Між трикутником та тетраедром. У висновка підведено Підсумок про виконан роботу.
Розділ 1. Теорема Піфагора на площині
Теорема Піфагора . У прямокутному трикутнику квадрат довжина гіпотенузі дорівнює сумі квадратів довжина катетів.
Дано: О”АВС, С = 90 В°, ВС = а, АС = b, АВ = с.
Довести : з 2 = а 2 + b 2
1.1 Різні доведення теореми Піфагора
доведення 1 . На гіпотенузі и катетах побудуємо квадрат и віконаємо Додаткові Побудова, які видно на малюнку 1. Тоді NAB = 90 В° + САВ,
САЕ = 90 В° + САВ. Отже, NАВ = САЕ. Крім цього, NА = СА, АВ = АЕ.
Таким чином, за дерло Ознакою рівності трікутніків маємо: О”NAB = О”CAE. Альо S О”NAB = NA В· NK = S О”ANRC , S О”CAE = AE В· EH = S AEHR . Порівнюючі Останні три рівності, дістанемо: S ANKC = S AEHR . (1) Аналогічно, ABE = 90 В° + ABC, CBD = 90 В° + ABC. Звідсі ABF = CBD. Крім того, AB - DB, CB - FB. Тоді за дерло Ознакою рівності трікутніків О”ABF = О”DBC. Альо SО”ABF = BF В· QF = SBCQF, SО”DBC = BD В· HD = SHRBD. З ціх рівностей одержимо: SBCQA = SHRBD. (2) Додамо почленно рівності (1) І (2):
SANKC + SBCQF = SAEHR + SHRBD, альо SAEHR + SHRBD = SAEDB.
Таким чином, SANKC + SAEDB або b2 + a2 = c2
Рис. 1
Рис. 2
доведення 2
Побудуємо О”BDE = О”ACB так, щоб B CD (рис 2).
Тоді чотірікутнік ACDE - трапеція, бо AC | | DE Як дві перпендикуляра до CD. Маємо:
S ACDE = В· CD = В· 2 (1)
Крім того, S ACDE = S О”ABE + 2S О”ABC . Трикутник ABE рівнобедреній и прямокутній. Дійсно, ЯКЩО позначімо АВС = BED =, тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90 В° -. За Побудова CBD = 90 В°. Таким чином, ABE = 180 В° - В°, S О”ABC =, S О”ABC =.
Тоді S ACDE = (2)
Порівнюючі рівності (1) і (2), дістанемо:
доведення 3. Побудуємо CD AB (рис.3).
Нехай CAB = BCD =. Тоді S О”ABC = sin. Оскількі,
S О”ABC = (1)
Аналогічно: S О”ACD = (2)
S О”BCD = (3)
За Побудова S О”ABC = S О”ACD + S О”BCD . (4)
З рівностей (1), (2), (3), (4) віпліває:
тобто
Рис.3 Рис.4
доведення 4. Впішемо в трикутник АВС коло (О, r) (Рис.4). Тоді:
S О”ABC = S О”OAC + S О”OAB =
Чотірікутнік OKCL - квадрат з стороною r. За властівістю дотичності, проведення з точок А та В до кола, маємо: AH = AK =, BH = BL =.
Тоді
AB = AH + HB =
З іншого боку
...
