ЗАСТОСУВАННЯ Частина ПОХІДНІХ
1. Дотичності площіна та нормаль до поверхні. Геометричність Зміст діференціала функції двох змінніх
Нехай задано Поверхня
. (1)
Точка належиться Цій поверхні и функція діференційована в точці, причому не ВСІ частінні похідні в точці дорівнюють нулю, тобто
.
Розглянемо довільну криву, Яки проходити через точку, лежить на поверхні (1) i задається рівнянням
де точці відповідає параметр.
Оскількі крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння (1):
. (2)
Діференціюючі рівність (2), маємо:
. (3)
Ця рівність показує, Що вектор (рис. 1)
ортогональні, Причому інші з них є напрямнім вектором дотічної до крівої у точці.
Крім того, з рівності (3) віпліває, Що дотічні до Всіх кривих, які проходять через точку и лежати на поверхні (1), ортогональні до одного й того самого вектора. Тоді ВСІ ці дотічні лежати в одній и тій самій площині, Яка назівається дотичності площіною до поверхні в точці .
Знайдемо рівняння дотічної площіні. Оскількі ця площіна проходити через точку перпендикулярно до вектора, то її рівняння має Вигляд.
. (4)
Нормаллю до поверхні в точці назівають пряму, Що проходити через точку перпендикулярно до дотічної площіні в Цій точці.
Оскількі нормаль проходити через точку и має напрямній вектор, то канонічні рівняння нормалі мают такий Вигляд:
. (5)
ЯКЩО
рівняння поверхні задано в явній формі, то, поклали, отрімаємо
,
тоді рівняння (4) І (5) наберуть виглядах:
; (6)
. (7)
Рисунок 1 - Дотичності площіна та нормаль до поверхні
Малюнок 2 - Геометричність Зміст ПОВНЕ діференціала функції
з'ясуємо геометричність Зміст ПОВНЕ діференціала функції. ЯКЩО у формулі (6) покласти, то ця формула запишеться у вігляді
.
Права частина цієї рівності є повний діференціалом функції в точці, тому.
Таким чином, повний діференціал функції двох змінніх у точці дорівнює приросту аплікаті точки на дотічній площіні до поверхні в точці, ЯКЩО от точки перейти до точки (рис. 2).
Зауваження 1 . Мі розглянулі віпадок, коли функція діференційована в точці і.
ЯКЩО ці розумів не виконують в деякій точці (її назівають особливою ), то дотичності та нормаль в такій точці можут НЕ існуваті.
Зауваження 2 . ЯКЩО поверхонь (1) є Поверхня рівня для деякої функції, тобто, то вектор
буде напрямнім вектором нормалі до цієї поверхні рівня.
2. скалярнийполе. Похідна за безпосередньо. Градієнт
Область простору, Кожній точці якої поставлено у відповідність Значення деякої скалярної величини, назівають скалярного полем . Інакше Кажучи, скалярне поле - ції скалярного функція разом з областю її визначення.
Малюнок 3.3 - Вектор
приклада скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густин даного неоднорідного середовища, поле вологості Повітря, поле атмосферного тисків, поле потенціалів заданого електростатічного поля ТОЩО.
Для того щоб задаті скалярне полі, достатності задаті скалярного функцію точки и область її визначення.
ЯКЩО функція не залежиться от годині, то скалярний поле назівають стаціонарнім, а скалярне полі, його призначення та змінюється з часом, - нестаціонарнім . Надалі розглядатімемо Ліше стаціонарні поля.
ЯКЩО у просторі ввести прямокутну систему координат, то точка в Цій сістемі матіме певні координати и скалярнийполе u таборі функцією ціх координат:
.
ЯКЩО скалярних функція покладів Тільки от двох змінніх, Наприклад x І, то відповідне скалярне поле назівають плоским ; ЯКЩО ж функція поклади від трьох змінніх: x , І, то скалярний поле назівають Просторово .
геометричність плоскі скалярні поля зображують за допомог ліній рівня, а просторові - за допомог поверхонь рівня.
Для характеристики швідкості Зміни поля в завданні напрямі введемо Поняття похідної за безпосередньо.
Нехай задано скалярнийполе. Візьмемо в ньому точку и проведемо з цієї точки вектор, напрямні косинуси Якого.
На векторі на відстані від Його качанів візьмемо точку.
Тоді
.
Обчіслімо тепер пріріст функції при переході від точки до точки у напрямі вектора:
.
ЯКЩО існує границя відношення при, то Цю границю назівають похідною функції в точці за безпосередньо вектора и позначають, тобто
.
Віведемо формулу для обчислення похідної за безпосередньо. Пріпустімо, Що функція діференційована в точці M . Тоді її повний пріріст у Цій точці можна запісаті так:
,
де - нескінченно малі функції при.
Оскількі
то
.
Перейшовші до границі при, отрімаємо формулу для обчислення похідної за безпосередньо
. (8)
З формули (З.8) віпліває, Що частінні похідні є окрема випадка похідної за безпосередньо. Дійсно, ЯКЩО збігається з одним Із ортів, або, то похідна за безпосередньо збігається з відповідною Частина похідною. Наприклад, ЯКЩО, то, тому
.
Подібно до того Як частінні похідні характеризують швідкість Зміни функції в напрямі осей координат, так и похідна показує швідкість Зміни скалярного поля в точці за безпосередньо вектора.
Абсолютна величина похідної відповідає значенню швідкості, а знак похідної візначає характер Зміни функції в напрямі (зростання чи спадання).
Очевидно, Що похідна за безпосередньо, Який протилежних напряму, дорівнює похідній за безпосередньо, взятій з протилежних знаком.
Справді, при зміні напряму на протилежних кути зміняться на, тому
.
Фізичний Зміст цього результату такий: Зміна напряму на протилежних НЕ впліває на значення швідкості Зміни поля, а Тільки на характер Зміни поля. ЯКЩО, наприклад, у напрямі поле зростає, то в напрямі воно спадає, и навпаки.
ЯКЩО полі плоскої, тобто задається функцією те напр вектора ЦІЛКОМ візначається кутом. Тому, поклали у формулі (8) та, отрімаємо
.
Вектор, координатами Якого є Значення Частина похідніх функції в точці назівають градієнтом функції в Цій точці и позначають. Отже,
. (9)
Зв'язок Між градієнтом и похідною в даній точці за довільнім безпосередньо показує така теорема.
Теорема. Похідна функції у точці за безпосередньо вектора дорівнює проекції градієнта функції в Цій точці на вектор , тобто
. (10)
доведення
Нехай - кут Між градієнтом (9) i одінічнім вектором (рис. 4), тоді з властівостей скалярного добутку [1] отрімаємо
Зазначімо деякі Властивості градієнта .
1. Похідна в даній точці за безпосередньо вектора має найбільше
значення, ЯКЩО напр вектора збігається з напряму градієнта, Причому
. (11)
Справді, з формули (10) віпліває, Що похідна за безпосередньо досягає максимального значення (11), ЯКЩО, тобто ЯКЩО напр вектора збігається з напряму градієнта.
Малюнок 4 - Зв'язок Між градієнтом и похідною за безпосередньо
Таким чином, швідкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта . Зрозуміло, Що у напрямі, протилежних до напряму градієнта, поле найшвідше зменшуватіметься.
2. Похідна за безпос...
