Реферат Застосування інтегралів до вирішення прикладних завдань

-->p>

4. Поверхневий інтеграл.

4.1 Площа поверхні, заданої явним рівнянням.

4.2 Площа поверхні в загальному випадку.

5.Тройной інтеграл.

5.1 Маса тіла. Обсяг.

5.2 Заміна змінної в потрійному інтегралі.

Висновок.

Вступ

Відомо, які чудові і різноманітні додатки має математичний аналіз як в самій математиці, так і в суміжних галузях знання. Тому сама думка про зв'язку математичного аналізу з іншими математичними дисциплінами і з потребами практики повинна бути засвоєна учнями при вивченні основ аналізу вже в школі. Викладений у даній роботі матеріал лише деяким пов'язаний зі шкільним курсом. У школі в 10-11 класах вивчаються невизначені і визначені інтеграли, практикується обчислення найпростіших інтегралів та знаходження площі криволінійної трапеції, що становить лише малу частину всього інтегрального числення.

інтеграл площа обсяг статичний момент

1. Певний інтеграл

1.1 Площа криволінійної трапеції

Обчислимо площу плоских фігур за допомогою інтегралів.

На першому місці розглянемо в строгому викладі задачу про визначення площі криволінійної трапеції (креслення 1). Ця фігура обмежена зверху кривою, що має рівняння, де - позитивна і безперервна в проміжку функція; знизу вона обмежена відрізком осі, а з боків - двома ординатами і (кожна з яких може звестися до точки).

Креслення 1.

Так як площа P аналізованої постаті ABCD існує, то будемо вести мову лише про її обчисленні. З цією метою розіб'ємо проміжок на частини, вставивши між a і b ряд точок. Позначивши через і, відповідно, найбільше і найменше значення функції в i -му проміжку (i = 0,1, ..., n-1), складемо суми (Дарбу)

,.

Вони, очевидно, являють собою площі східчастих фігур, складених, відповідно, з входять і виходять прямокутників (див. креслення). Тому. Але при прагненні до нулю найбільшою з різниць обидві суми мають своїм межею інтеграл, отже, йому і дорівнює шукана площа P = . (1)

Якщо криволінійна трапеція CDFE обмежена і знизу і зверху кривими (Креслення 2), рівняння яких і, то, розглядаючи її як різниця двох фігур і , Отримаємо площа названої трапеції у вигляді P = . (2)

Нехай тепер дан сектор AOB (креслення 3), обмеженою кривою AB і двома радіусами-векторами AO і OB (кожен з яких може звестися до точки). При цьому крива AB задається полярним рівнянням, де - позитивна безперервна в проміжку функція.

Креслення 2. Креслення 3.

Вставивши між і (див. креслення) значення, проведемо відповідні цим кутам радіус-вектори. Якщо ввести і тут найменше та найбільше значення функції в і, то кругові сектори, описані цими радіусами, будуть, відповідно, входять і виходять для фігури ( P ). Складемо окремо з виходять секторів дві фігури, площі яких будуть і.

У цих сумах і легко дізнатися суми Дарбу для інтеграла; при прагненні до нуля найбільшою з різниць обидві вони мають межею цей інтеграл. Тоді фігура ( P ) квадріруема і P = . (3)

Приклади:

1). Визначити площу фігури, укладеної між двома конгруентними параболами і (креслення 4).

Очевидно, потрібно скористатися формулою (2), вважаючи там,. креслення 4.

Для встановлення проміжку інтегрування вирішимо спільно дані рівняння і знайдемо абсцису точки M перетину обох парабол, відмінної від початку; вона дорівнює 2 p . Маємо

.

2). Формула (1) може бути використана і в тому випадку, якщо крива, що обмежує криволінійну трапецію, задана параметрично або рівняннями,. . Зробивши заміну в інтегралі (1), отримаємо (у припущенні, що при і при):. (4)

Якщо, наприклад, при обчисленні площі еліпса виходити з його параметричного уявлення, і врахувати, що зростає від до, коли убуває від до нуля, то знайдемо. Ми вирахували площа верхньої половини еліпса і подвоїли її.

Креслення 5.

3). Знайти площу одного витка Архімедова спіралі (креслення 6).

Маємо за формулою (3), в той час як площа круга радіуса буде. Площа витка спіралі дорівнює третини площі круга (цей результат був відомий ще Архімеду). креслення 6.

4). Аналогічно обчислюється площа фігури, обмеженої циклоїдою

, (креслення 5). Маємо за формулою (4)

.

Таким чином, шукана площа виявилася дорівнює потроєною площі круга радіусу a .

1.2 Обсяг тіла

Почнемо з майже очевидного зауваження: прямий циліндр висоти H , підставою якого служить квадріруемая плоска фігура ( P ), має об'єм, що дорівнює добутку площі підстави на висоту: .

Візьмемо багатокутники і, відповідно містяться в ( P ), так, щоб їх площі і прагнули до P . Якщо на цих многоугольниках побудувати прямі призми і висоти H , то їх обсяги і будуть прагнути до загальному межі, що й буде об'ємом нашого циліндра

Розглянемо тепер деякий тіло ( V ), що міститься між площинами і, і станемо розсікати його площинами, перпендикулярними до осі x (креслення 7). Припустимо, що (креслення 7) всі ці перетини квадріруеми, і нехай площа перерізу, що відповідає абсциссе x , - позначимо її через P ( x ) - буде безперервною функцією від x (для).

Якщо спроектувати без спотворення два подібних перетину на яку-небудь площину, перпендикулярну до осі x , то вони можуть або міститися одне в іншому (креслення 8а), або частково одне на інше налягати, (креслення 8) або лежати одне поза іншого (креслення 8б і 8в). Ми зупинимося на тому випадку, коли два різних перетину, будучи спроектовані на площину, перпендикулярну до осі x , виявляються завжди містяться одне в іншому.

У цьому припущенні можна стверджувати, що тіло має об'єм, який виражається формулою. (5)

Для доказу розіб'ємо відрізок на осі x точками на частини і розкладемо площинами, проведеними через точки ділення, все тіло на шари . Розглянемо i -й шар, що міститься між площинами і ( I = 0,1, ..., n -1). У проміжку функція P <...