Введення
Запропонована мені тема «гшення задачі про оптимальної інтерполяції за допомогою дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) В»написана на основі книги В. Н. Малоземова і С. М. МашарскогоВ« Основи дискретної гармонійного аналізу В». Дискретний гармонійний аналіз - це математична дисципліна, результати якої активно використовуються в цифровій обробці сигналів. По ходу вивчення книги виникли нові завдання, дві з яких наведені в розділі «гшення задачВ». В даній роботі також порівнюється ДПФ з безперервним перетворенням Фур'є. У додатках у разі класичного перетворення доводиться наближено замінять інтеграли деякими сумами. При цьому основна складність пов'язана з необхідністю оцінки похибки на кожному з наступних етапів. ДПФ тим вигідніше і відрізняються, що тут з самого початку замість інтегралів маємо справу з сумами. При цьому основні цілі використання ДПФ також досягаються.
Розглядаються різні перетворення - періодичних векторів, серед яких центральну роль відіграє ДПФ. Завдання про оптимальної інтерполяції є додатком ДПФ.
Окремі завдання в рамках дипломної роботи мені вирішити не вдалося. Вони не увійшли в дипломну роботу.
Основна робота звелася до викладу основних фактів з докладними доказами. На початку дипломної роботи є розділ В«Допоміжний матеріалВ», в якому коротко викладено факти, необхідні для читання основного тексту. Ці факти добре відомі і стосуються тих понять і термінів, які зустрічаються в теорії чисел, в теорії лінійних комплексних просторів і в лінійній алгебрі. Всі ці поняття використовуються для отримання більш важливих результатів в наступних параграфах.
Далі вводиться простір - періодичних векторів і встановлюється той факт, що - лінійне комплексне простір.
Над елементами цього простору визначаються пряме і зворотне ДПФ.
Розв'язано задачі, складена і апробована програма, яка реалізує оптимальну інтерполяцію. Також складені програми, які обчислюють з
гортку двох періодичних векторів і ДПФ.
При вирішенні задачі оптимальної інтерполяції спочатку переходимо до нових змінним за допомогою ДПФ. Далі полеченную завдання вирішуємо методом множників Лагранжа. І, нарешті, переходимо до вихідним змінним за допомогою формули звернення.
2
В§ 1. Допоміжний матеріал
У даній роботі використовуються наступні позначення:
Z, R, C - множини цілих, дійсних і комплексних чисел відповідно;
m: n - безліч послідовних цілих чисел {m, m +1, ..., n}.
1.Корні з одиниці. Припустимо - натуральне число,. Введемо комплексне число
(1)
За формулою Муавра при натуральному k отримуємо
(2)
Зокрема, Число називається коренем - го ступеня з одиниці.
Формула (2) вірна при k = 0. Покажемо, що вона вірна і при цілих негативних ступенях. Дійсно,
Значить, отримали, що формула (2) справедлива при всіх
Відзначимо, що і при натуральному. З (2) і властивостей тригонометричних функцій слід також, що при всіх цілих і
Застосовуючи формулу Ейлера, маємо
2.Комплексное унітарна простір. Будемо говорити, що в комплексному лінійному просторі визначено скалярне множення, якщо всякої парі векторів a, b поставлено в відповідність число, що позначається символом (a, b) і зване скалярним добутком векторів a і b. Причому (a, b) буде, взагалі кажучи, комплексним числом.
3
При цьому повинні виконуватися аксіоми:
1., де риса позначає, як зазвичай, перехід до сопряженному комплексному числу;
2.
3.
4.Якщо а в‰ 0, то скалярний квадрат вектора а строго позитивний, тобто
(а. а)> 0, а якщо (а, а) = 0, то а = 0.
Комплексне лінійний простір називається унітарною простором, якщо в ньому задано скалярне множення.
Вектори а та b називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю
(а, b) = 0.
Система векторів називається ортогональною системою, якщо всі вектори цієї системи попарно ортогональні.
Назвемо вектор b нормованим, якщо його скалярний квадрат дорівнює одиниці
(b, b) = 1.
При цьому, якщо - ортонормованій база і вектори а, b
мають в цьому базі записи
а =,, то.
Також маємо рівність
(3)
3.Вичети. Нехай і - натуральне число. Існує єдине ціле число, таке, що
(4)
Воно називається цілою частиною дробу і позначається
Різниця називається вирахуванням за модулем і позначається .
4
Неважко показати, що
. (5)
Дійсно, помножимо нерівності (4) на і віднімемо.
Отримаємо, що рівносильно (5).
4.Функції комплексного змінного. На площинах комплексних змінних z і w розглянемо відповідно множини і.
Якщо зазначений закон f, по якому кожному значенню зіставляється єдине значення, то кажуть, що на безлічі Е визначена однозначна функція комплексного змінного z і пишуть w = f (z).
Функції визначаються як суми статечних рядів:
,,. (6)
З цих рівностей безпосередньо можна отримати наступні формули Ейлера:
,,. (7)
5.Матріци. Прямокутна таблиця чисел, записана у вигляді
(8)
називається матрицею.
Коротко матрицю позначають так:,;
де - елемент даної матриці, який знаходиться в i-му рядку і j-м стовпці матриці А.
5
Деякі властивості матриць:
1. сума С = А + В двох матриць А і В одного розміру mn - це матриця
С = (с), де з = a + b для всіх i, j;
сума матриць різних розмірів не визначається.
2.Проізведеніе С = О»А матриці А і елемента О»С - це матриця того ж розміру, що і А, причому при всіх i, j.
3.Проізведеніе С = АВ матриці А розміру mn і матриці В розміру np - це матриця С розміру mp така, що
Добуток матриць у загальному випадку некомутативних, т.е АВ в‰ ВА.
Транспонована матриця (по відношенню до матриці А) - така матриця, що.
Сукупність елементів квадратної матриці називається головною діагоналлю матриці.
Матриця, у якої елементи, які стоять на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, а всі інші елементи рівні 0, називається одиничною матрицею і позначається буквою Е.
Нагадаємо, що
АЕ = А і ЕА = А.
Матриця називається ортогональною, якщо рядки утворюють ортогональну систему векторів і норма кожного рядка дорівнює одиниці.
Квадратна матриця називається симетричної, якщо
.
6.Определітелі. Усяке розташування чисел 1, 2, ..., n в деякому певному порядку називається перестановкою з n чисел.
Кажуть, що в даній перестановці числа i та j складають інверсію, якщо i> j, але i стоїть в цій перестановці раніше j.
Перестановку називають парною, якщо її символи складають парне число інверсій, і непарною - у протилежному випадку.
Всяке взаємно однозначна відображення А безліч перший n натуральних чисел на себе називається підстановкою n-го ступеня, причому, очевидно, всяка підстановка А може бути записана за допомогою двох перестановок, підписаних одна під одною.
6
Підстановка А буде парною, якщо загальне число інверсій в двох рядках будь її записи парно, і непарній - в протилежному випадку.
Визначником n-го порядку називається алгебраїчна сума n! членів, складена таким чином: членами служать всілякі твори n елементів матриці, узятих по одному в кожному рядку і в кожному стовпці, причому член береться зі знаком плюс, якщо його індекси складають парну підстановку і зі знаком мінус в протилежному випадку.
Для визначника квадратної матриці А використовується позначення | A | або detA.
Властивості визначника:
1.определітель транспонованої матриці дорівнює определителю вихідної, тобто
det (AT) = detA;
2.Якщо всі елементи...
