М.І. Векслер, Г.Г. Зегря
Для розрахунку ємності можна ввести різницю потенціалів між обкладками, вирішити рівняння Пуассона, знайти D на обкладках, а потім щільність поверхневого заряду обкладок Пѓ = В± Dn (Dn - це Dx або Dr у обкладки). При цьому приймається, що поле поза конденсатора відсутня (інакше невірна зв'язок Пѓ і Dx (r)).
Розглянемо для прикладу симетричний (Оµ = Оµ (r)) циліндричний конденсатор. У ньому
(39)
(40)
| Пѓ (R1 (2)) | = | Dr (R1 (2)) | = Оµ0Оµ (R1 (2)) | Er (R1 (2)) |
(41)
Заряд обкладки дорівнює
| Q | = | Пѓ1 (2) | В· 2ПЂ R1 (2) L = | Dr (R1 (2)) | В· 2ПЂ R1 (2) L
(42)
де L - довжина конденсатора уздовж осі z. Як видно, R1 або R2 cокращается, після чого можна знайти ємність як
(43)
Аналогічне розгляд для декартового і сферичного випадків призводить до виразів:
(44)
Якщо має місце залежність проникності від інших координат типу Оµ (r, z, П†) = F1 (r) В· f2 (z, П†), то наведені вище формули вірні для малого елемента площі обкладок dzR1dП†, а для знаходження ємності всього конденсатора необхідно провести інтегрування:
(45)
країв ефектами у всіх випадках нехтується.
Задача: Знайти ємність циліндричного конденсатора, а також абсолютну величину заряду обкладок при
подачі напруги U. Радіуси обкладок R1 і R2, а довжина L. Діелектрик, що заповнює конденсатор, однорідний, його проникність дорівнює Оµ.
Рішення: За формулами для ємності циліндричного конденсатора
отримуємо заряд:
Задача. Частина сферичного конденсатора (область Оё <ПЂ/3) заповнена діелектриком з проникністю Оµ (r) = О±/r2, а інша частина має Оµ (r) = ОІ/r2. Знайти ємність, якщо радіуси обкладок R1 і R2.
Рішення: Описане в задачі зміна проникності діелектрика може бути представлено як (є при цьому кусочной функцією, що приймає значення О± і ОІ). Тому ємність можна обчислити як:
З
=
+
Задача. У діелектрику проникності Оµ на відстані l від нескінченної провідної площині розташований невеликий металевий кулька радіуса a <
Рішення: Для знаходження ємності необхідно, задавшись зарядом кульки q, знайти різницю потенціалів між кулькою і площиною.
Так як кулька дуже маленький (a <
Різниця потенціалів можна знайти як
де інтеграл береться по будь-якій траєкторії, що сполучає кульку і площина. Зрозуміло, зручніше взяти найпростішу траєкторію: перпендикуляр, опущений з кульки на площину. Введемо вісь x з цього перпендикуляру так, що центр кульки має координату 0, а площину x = l.
Для знаходження поля системи застосовується метод зображень. На осі x виходить:
Тепер записуємо різниця потенціалів:
Останнє наближена рівність отримано з урахуванням умови a <
Список літератури
1. І.Є. Іродів, Завдання по загальній фізиці, 3-е изд., М.: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с.; або 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник задач з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту edu.ioffe.ru/r
