Введення.
Центральна гранична теорема (ЦПТ) має величезне значення для застосувань теорії ймовірностей в природознавстві і техніці. Її дія проявляється там, де спостережуваний процес схильний до впливу великого числа незалежних випадкових факторів, кожен з яких лише мізерно мало змінює перебіг процесу. Спостерігач, що стежить за станом процесу в цілому, спостерігає лише сумарне дія цих чинників. Ця схема пояснює також виняткове місце, яке нормальний розподіл займає серед інших імовірнісних розподілів.
Випадкові величини
Випадкової одновимірної величиною, або просто випадковою величиною, називають будь-яку числову функцію, визначену на просторі елементарних подій.
Приклад. Розглянемо простір елементарних подій, яке виходить в результаті незалежних бросаний двох монет. У цьому прикладі простір елементарних подій складається з чотирьох елементарних подій, яким зіставляється ймовірність 1/4. Визначимо тепер на цьому просторі випадкову величину, рівну числу гербів, що з'явилися при киданні двох монет. Очевидно, що значення випадкової величини є 0, 1, 2, і випадкова величина приймає ці значення з ймовірностями 0, 25, 0, 5, 0, 25, відповідно.
Так як випадкова одномірна величина являє собою числову функцію на просторі елементарних подію, то будь-яка числова функція від випадкової величини відповідно до визначення також є випадковою величиною.
Функція розподілу ймовірностей випадкової величини
Визначення. Функцією розподілу ймовірностей, або просто функцією розподілу (іноді застосовують термін кумулятивна функція розподілу) випадкової величини, називається функція F (х), рівна для будь-якого значення x ймовірності події:
P (Оѕ
З визначення легко вивести властивості функції розподілу:
На
рис. 1 наведено графік функції розподілу ймовірностей випадкової величини з прикладу.
Рис. 1. Функція розподілу F (x) випадкової величини з першого прикладу.
Випадкові дискретні величини
Розрізняються два типи випадкових величин: дискретні, що приймають кінцеве або рахункове число значень, і безперервні, що приймають всі значення на деякому неперервному проміжку числової осі.
Визначення. Випадкової дискретної величиною називається випадкова величина, що приймає кінцеве або рахункове безліч значень х0, х1, x2, ... .
Позначимо множина всіх можливих значень, які приймає дискретна випадкова величина, через x0, x1, x2, ..., а ймовірності, з якими приймає ці значення, - через р0, р1, р2, ... . Тоді ОЈpi = 1.
Розподіл випадкової дискретної величини буде повністю описано, якщо вказати для будь-якого i ймовірність рi того, що випадкова величина приймає значення xi, тобто Функція розподілу F (x) випадкової величини при цьому виявляється рівною
Таким чином, F (x) - східчаста функція, рівна постійної на будь-якому інтервалі, не містить точок xi, і що має в кожній точці xi стрибок вгору на величину pi.
Таким чином, щоб задати дискретну випадкову величину, достатньо описати безліч всіх можливих значень випадкової величини x0, x1, x2, ..., а також вказати числа рi такі, що
Найбільш Найпоширенішими формами представлення дискретних випадкових величин є таблична
і графічна (рис. 2-5), що відображають залежність pi (xi) = p (Оѕ = xi) ймовірності рi від можливого значення випадкової величини xi. Функція pi (xi), що виражає цю залежність, називається розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини.
Найбільш відомими прикладами дискретних випадкових величин є: випадкова величина, розподілена по дискретному рівномірному закону, біноміального розподілена випадкова величина, випадкова величина, розподілена за законом Бернуллі, випадкова величина, розподілена за законом Пуассона.
Рис.2. Розподіл ймовірностей дискретної
випадкової величини.
Випадкова величина, що приймає n (n> 1) значень х1, х2, ..., xn з імовірностями рi = 1/n, називається випадковою величиною, розподіленою по дискретному рівномірному закону. На рис.3 розглянута випадкова величина (для n = 6) представлена ​​в графічній формі. Випадкова величина, розподілена по дискретному рівномірному закону, є моделлю подій з рівноімовірними исходами (див. приклад з киданням гральної кістки).
Рис.3. Розподіл ймовірностей дискретного рівномірного розподілу (n = 6).
Випадкова величина, що приймає два значення: 0 і 1 з ймовірностями q = 1-р і р, відповідно (0 <р <1), називається випадковою величиною, розподіленою за законом Бернуллі з параметром p. Випадкова величина, розподілена за законом Бернуллі - Це вдала модель для опису багатьох конкретних випробувань, які мають два результату (найбільш відомий приклад - кидання правильної монети; тут p = q = 1/2), в тому числі і в біології: присутність або відсутність деякої ознаки: стать народженого курчати, колір квітки і т. д.
Випадкова величина, приймаюча n +1 значення 0, 1, 2, ..., n, з імовірностями
де i = 0, 1, 2, ..., n, q = 1-р, 0
Рис.4. Розподіл ймовірностей біноміального
розподіленої випадкової величини для n = 10 і p = 0.2.
Зауважимо також, що випадкова величина, розподілена за законом Бернуллі, є окремим випадком біноміальної випадкової величини для n = 1.
Випадкова величина, що приймає рахункове безліч значень 0, 1, 2, ..., з імовірностями
де i = 0, 1, ..., О»> 0 називається випадковою величиною, розподіленою за законом Пуассона. Величина О» називається параметром розподілу Пуассона.
На рис. 5 випадкова величина, розподілена за законом Пуассона, представлена ​​в графічній формі. Випадкова величина, розподілена за законом Пуассона, служить моделлю експерименту, пов'язаного з визначенням чисельності бактерій в одиниці обсягу, або чисельності тварин на одиницю площі, та інших подібних експериментів.
Рис. 5. Розподіл ймовірностей пуассонівської випадкової величини з О» = 5.
Розподіл Пуассона іноді називають "розподілом ймовірностей рідкісних подій" оскільки воно добре описує ситуацію випадково і незалежно один від одного з'являються подій протягом заданого періоду часу (реєстрації радіоактивних частинок в лічильнику Гейгера, телефонні дзвінки, поява відвідувачів в маловідвідуваній магазині і т.п.). Істотна саме незалежність подій, а їх "рідкість" потрібна лише для того, щоб можна було знехтувати ймовірністю одночасної появи двох подій. Якщо параметр відноситься до одиниці часу, то періоду часу тривалістю t буде відповідати пуассонівської розподіл з параметром. Відповідно, ймовірність того, що протягом періоду t не станеться жодного події дорівнює
Якщо, наприклад, поява події тягне загибель організму, то можноінтерпретіровать як ймовірність того, що організм доживе до віку t. Параметр О» в цьому випадку називають інтенсивністю смертності, або просто смертністю. З наведеної формули видно, що чим більше О», тим менше ймовірність дожити до заданого віку t і, звичайно, чим більше цей заданий вік, тим менше ймовірність до нього дожити (типовий приклад - час життя склянки в їдальні).
Безперервні випадкові величини.
Визначення 1. Випадкова величина називається безперервною, якщо її функція розподілу F (x) неперервна.
т.е функція розподілу є деякий інтеграл.
Определеніе2. Функція f (x) називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини.
f (x) має властивості:
f (x) ≥ 0;
Определеніе3.Еслі функція розподілу має похідну, то похідна називається щільністю розподілу.
Определеніе3.Слу...
