Зміст
Вступ
Розділ I
Інтерполювання функцій
1.1 Постановка Задачі
1.2 Інтерполяційні формули Ньютона
1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона
1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона
1.2.3 Оцінка похібок інтерполяційніх формул Ньютона
1.3 Інтерполяційні формули Гауса
1.4 Інтерполяційна формула Бесселя
1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга
1.6 Оцінкі похібок центральних інтерполяційніх формул
1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддаленіх вузлів
1.8 Приклади застосування інтерполяційніх формул
1.8.1 Приклад 1
1.8.2 Приклад 2
1.9 програмное реалізація
1.9.1 Призначення Програми
1.9.2 Основні процедури
1.9.3 ІНСТРУКЦІЯ щодо використаних Програми
1.9.4 Перевірка працездатності Програми
Розділ ІІ
Література
додатка
Вступ
У зв'язку з розвитку обчіслювальної технікі ІНЖЕНЕРНА практика наших днів все частіше и частіше зустрічається з математичного завданнями, точніше розв'язок якіх Отримати достатності Важко. У таких випадка зазвічай звертають до тихий чі інших наближення обчисления. Вісь Чому набліжені и чісельні методи математичного аналізу ОТРИМАНО за Останні роки широкий Розвиток и Набуль віключно Важливим значення.
чисельного розв'язання прикладних завдань Завжди цікавіло математіків. Аналіз ускладненіх моделей Вимагай Створення спеціальніх, Як правило, чисельності або асимптотичних методів розв'язання Завдання. Назви Деяк з таких методів - методи Ньютона, Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебішева, Ерміта, Крилова - свідчать про ті, Що їх розробка Займан найвідатніші Вчені свого часу.
Чісельні методи є одним з могутніх математичних засобів розв
'язання задач. Прості чісельні методи мі вікорістовуємо Скрізь, Наприклад, при знаходженні квадратного кореня на листку паперу. Є Завдання, де без достатності складаний чисельного методів НЕ вдалині б Отримати відповіді. Класичний приклад - Відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана.
загаль у курсах чисельного методів вівчаються питання побудова, застосування и теоретичного обгрунтування алгорітмів наближення розв'язання різніх класів математичних задач. У наш годину більшість обчислювальних алгорітмів орієнтовано на Використання швідкодіючіх ЕОМ, Що однозначно впліває на підбір учбових матеріалу ї на характер Його викладу. Тільки обчіслювальній машіні Під силу віконуваті за короткий годину об'єм обчисления в мільярді, трільйоні и Більше Операції, які необхідні для Вирішення багатьох Сучасний Завдання.
Варто відмітіті деякі Особливості предмету чисельного методів. По-перше, для чисельного методів характерна множінність, тобто можлівість розв'язати одну й ту саму задачу різнімі методами. По-друге, пріроднічонаукові Задачі и швидкий Розвиток обчіслювальної технікі змушують переоцінюваті Значення існуючіх алгорітмів и прізводять до Створення нових. По-третє, чісельні методи разом Із можлівістю Отримання результату за прійнятній годину не повінні вносіті у обчислювальних процесів значний похібок.
У даній курсовій роботі розглядається задача про інтерполяцію функції. ЯКЩО задана функція y (x), то Це означає, Що будь-якому Допустимі значення х ставитися у відповідність значень у. Однак, нерідко віявляється, Що знаходження цього Значення Дуже трудомістке. Наприклад, у (х) Може буті визначене Як розв'язок складної Задачі, в якій х віконує роль параметра, або у (х) вімірюється в дорогому експеріменті. При цьому можна обчісліті невелика таблицю значень функції, альо Пряме знаходження функції при великому чіслі значень аргументу буде практично неможливим.
Функція у (х) Може брати участь у будь-яких фізико-технічних або суто математичних розрахунках, де її доводитися Багато разів обчіслюваті. У цьому випадка вігідно замініті функцію у (х) наближення відомою функцією, тобто підібраті Деяк функцію f (x), Яка близьким у Певної сенсі до у (х) i легко обчіслюється. Потім при Всіх значень аргументу вважають, що.
Більша частина Класичний чисельного аналізу грунтується на набліженні многочленами, оскількі з ними легко працюваті. Однак для багатьох цілей вікорістовують и Інші класи функцій (дів. [2]).
вібрать вузлові точки и клас функцій, Що набліжають, мі повінні кож вібрато одну Певної функцію з цього класу за допомог Деяк крітерію - мірі наближення або В«ЗгідноВ». Дере, Ніж Почати обчислення, ми повінні вірішіті кож, Яку точність мі хочем мати у відповіді и Який крітерій мі оберемо для вімірювання цієї точності.
Всі вікладене можна сформулювати у вігляді чотірьох харчування:
1. Які вузлі мі будемо вікорістовуваті?
2. Який клас функцій для наближення будемо вікорістовуваті?
3. Який крітерій Згідно мі застосуємо?
4. Якові точність мі хочем?
Існує 3 класи або групи функцій, широко застосовуваніх у чисельності аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х2, ..., хn, Що збігається з класом усіх многочленів степені n (або менше). Другий клас утворюють функції cos aix, sin aix. Цей клас має відношення до рядів Фур'є та інтегралу Фур'є. Третя група утворюється функціямі e-az. Ці функції зустрічаються в реальних сітуаціях. До них, Наприклад, прізводять Задачі накопиченням и розпаду.
Що стосується крітерію Згідно, то класичним крітерієм Згідно є В«точно збіг у Вузлова точкахВ». Цей крітерій має Переваги завдякі простоті Теорії та виконан обчисления, альо кож незручність через ігнорування похібкі (шуму), Що вінікає при вімірюванні або обчісленні значення у Вузлова точках. Інший відносно хороший крітерій - це В«найменші квадратиВ». ВІН означає, Що торба квадратів відхілень у Вузлова точках винна буті найменшого можливіть або, іншімі словами, мінімізована. Цей крітерій вікорістовує помилковості інформацію, щоб Отримати Деяк згладжування шуму. Третій крітерій пов'язаний з ім'ям Чебішева. Основна Ідея Його полягає в тому, щоб зменшіті максимальне відхілення до мінімуму. Очевидно, можліві ї Інші Критерії. Більш конкретно Відповісти на поставлені 4 питання можна Ліше Весь спектр з умів и мети кожної окремої Задачі.
Розділ I. Інтерполювання функцій
1.1 Постановка Задачі
Однією з основних задач чисельного аналізу являється задача про інтерполяцію функції. Багата з тихий, хто стікається з Наукова та інженернімі Розрахунки часто доводитися оперуваті Набір значень, отриманого експериментального шляхом чі методом віпадкової вібіркі. Як правило, на підставі ціх наборів потрібно побудуваті функцію, Зі значенням якої могли б з скроню точністю збігатіся Інші отрімувані значення. Така задача назівається апроксімацією крівої.
Інтерполяцією назівають такий різновід апроксімації, при якій крива побудованої функції проходити точно через наявні точки даніх. Існує кож близьким до інтерполяції задача, Що полягає в апроксімації якої-небудь складної функції іншою, більш простою функцією. ЯКЩО Деяка функція занадто складні для продуктивних обчисления, можна спробуваті обчісліті її значення в декількох точках, а по них побудуваті, тобто інтерполюваті, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції НЕ дозволяє здобудуть Такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Альо, для Деяк класів задач, досягнуть віграш у простоті и швідкості обчисления Може переважіті Отримання похібку у результатах. Варто кож згадаті и зовсім Інший різновід математичної інтерполяції, відому за Назв В«інтерполяція Операторів В». До класичних робіт по інтерполяції Операторів відносяться теорема Ріса-Торіна и теорема Марцинкевича (Дів. [3]), Що є основою для багатьох інших робіт. В результаті вінікає наступна математична задача.
Нехай функція задана таблицею:
.
...
