Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа
вищого професійної освіти
В«Іжевський державний технічний університет В»
Факультет В«Прикладна математикаВ»
Кафедра В«Математичне моделювання процесів і технологійВ»
Курсова робота
з дисципліни В«Диференціальні рівнянняВ»
Тема: В«Якісне дослідження моделі хижак-жертваВ»
Іжевськ 2010
ЗМІСТ
ВСТУП
1. ПАРАМЕТРИ І ОСНОВНИЙ РІВНЯННЯ МОДЕЛІ В«хижак-жертваВ»
2. ЯКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Елементарна модель В«хижак-жертваВ»
2.1 Модель трофічного взаємодії по типу В«хижак-жертваВ»
2.2 Узагальнені моделі Вольтера типу В«хижак-жертваВ».
3. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛІ В«Хижак-жертваВ»
ВИСНОВОК
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
В даний час завдання екології мають першорядне значення. Важливим етапом вирішення цих завдань є розробка математичних моделей екологічних систем.
Одним з основних завдань екології па сучасному етапі є вивчення структури і функціонування природних систем, пошук загальних закономірностей. Великий вплив на екологію зробила математика, сприяюча становленню математичної екології, особливо такі її розділи, як теорія диференціальних рівнянь, теорія стійкості та теорія оптимального керування.
Однією з перших робіт в галузі математичної екології була робота А.Д. Лотки (1880 - 1949), який перший описав взаємодію різних популяцій, пов'язаних відносинами хижак - Жертва. Великий внесок у дослідження моделі хижак-жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В.А. Костіцин (1883-1963) В даний час рівняння описують взаємодію популяцій, називаються рівняннями Лотки - Вольтерра.
Рівняння Лотки - Вольтерра описують динаміку середніх величин - чисельності популяції. В Нині на їх основі побудовані більш загальні моделі взаємодії популяцій, описувані інтегро-диференціальними рівняннями, досліджуються керовані моделі хижак - жертва.
Однією з важливих проблем математичної екології є проблема стійкості екосистем, управління цими системами. Управління може здійснюватися з метою переведення системи з одного стійкого стану в інший, з метою її використання або відновлення.
1. ПАРАМЕТРИ І ОСНОВНИЙ РІВНЯННЯ МОДЕЛІ хижак-жертва
Спроби математичного моделювання динаміки як окремих біологічних популяцій, так і співтовариств, що включають взаємодіючі популяції різних видів, робилися давно. Одна з перших моделей росту ізольованою популяції (2.1) була запропонована ще в 1798 р. Томасом Мальтусом:
, (1.1)
Дана модель задається наступними параметрами:
N - чисельність популяції;
- різниця між коефіцієнтами народжуваності та смертності.
Інтегруючи це рівняння отримуємо:
, (1.2)
де N (0) - Чисельність популяції в момент t = 0. Очевидно, що модель Мальтуса при> 0 дає нескінченний зростання чисельності, що ніколи не спостерігається в природних популяціях, де ресурси, що забезпечують це зростання, завжди обмежені. Зміни чисельності популяцій рослинного і тваринного світу не можна описувати простим законом Мальтуса, на динаміку зростання впливають багато взаємопов'язані причини - в Зокрема, розмноження кожного виду саморегулюється і видозмінюється так, щоб цей вид зберігався в процесі еволюції. [1]
Математичним описом цих закономірностей займається математична екологія - наука про відносини рослинних і тваринних організмів і утворюваних ними співтовариств між собою і з навколишнім середовищем.
Найбільш серйозне дослідження моделей біологічних співтовариств, що включають в себе кілька популяцій різних видів, було проведено італійським математиком Віто Вольтерра:
,
де - чисельність популяції;
- коефіцієнти природного приросту (або смертності) популяції; - коефіцієнти міжвидового взаємодії. В залежності від вибору коефіцієнтів модель описує або боротьбу видів за загальний ресурс, або взаємодія типу хижак - жертва, коли один вид є їжею для іншого. Якщо в роботах інших авторів основна увага приділялася побудові різних моделей, то В. Вольтерра провів глибоке дослідження побудованих моделей біологічних співтовариств. Саме з книги В. Вольтерра, на думку багатьох учених, почалася сучасна математична екологія.
2. ЯКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Елементарна модель В«хижак-жертваВ»
2.1 Модель трофічного взаємодії з типом В«хижак-жертваВ»
Розглянемо модель трофічного взаємодії по типу В«хижак-жертваВ», побудовану В. Вольтерра. Нехай є система, що складається з двох видів, з яких один поїдає інший.
Розглянемо випадок, коли один з видів є хижаком, а інший - жертвою, і будемо вважати, що хижак харчується тільки жертвою. Приймемо наступну просту гіпотезу:
- коефіцієнт приросту жертви;
- коефіцієнт приросту хижака;
- чисельність популяції жертви;
- чисельність популяції хижака;
- коефіцієнт природного приросту жертви;
- швидкість споживання жертви хижаком;
- коефіцієнт смертності хижака в відсутність жертви;
- коефіцієнт В«переробкиВ» хижаком біомаси жертви в власну біомасу.
Тоді динаміка чисельності популяцій в системі хижак - жертва буде описуватися системою диференціальних рівнянь (2.1):
(2.1)
де всі коефіцієнти позитивні і постійні.
Модель має рівноважний рішення (2.2):
(2.2)
За моделі (2.1) частка хижаків в загальній масі тварин виражається формулою (2.3):
(2.3)
Аналіз стійкості стану рівноваги по відношенню до малих збурень показав, що особлива точка (2.2) є В«нейтральноВ» стійкою (типу В«центрВ»), тобто будь-які відхилення від рівноваги не загасають, але переводять систему в коливальний режим з амплітудою, що залежить від величини обурення. Траєкторії системи на фазової площини мають вигляд замкнутих кривих, розташованих на різних відстанях від точки рівноваги (рис. 1).
Рис. 1 - Фазовий В«ПортретВ» класичної вольтерровой системи В«хижак-жертваВ»
Розділивши перше рівняння системи (2.1) на друге, отримаємо диференціальне рівняння (2.4) для кривої на фазовій площині.
(2.4)
Інтегруючи дане рівняння отримаємо:
(2.5)
де - постійна інтегрування, де
Нескладно показати, що рух точки по фазової площини буде відбуватися тільки в одну сторону. Для цього зручно зробити заміну функцій і, перенісши початок координат на площині в стаціонарну точку (2.2) і ввівши потім полярні координати:
(2.6)
В такому випадку, підставивши значення системи (2.6) в систему (2.1), будемо мати:
(2.7)
Помноживши перше рівняння на, а друге - на і склавши їх, одержимо:
(2.8)
Після аналогічних алгебраїчних перетворень отримаємо рівняння для:
(2.9)
Величина , Як видно з (4.9), завжди більше нуля. Таким чином, не змінює знака, і обертання весь час йде в одну сторону.
Інтегруючи (2.9) знайдемо період:
(2.10)
Коли мало, то рівняння (2.8) і (2.9) переходять у рівняння еліпса. Період обігу в цьому випадку дорівнює:
(2.11)
Виходячи з періодичності рішень рівнянь (2.1), можна отримати деякі слідства. Уявімо для цього (2.1) у вигляді:
(2.12)
і проінтегруємо по періоду:
(2.13)
Так як підстановки від і в силу періодичності звертаються в нуль, середні по періоду виявляються рівними стаціонарним станам (2.14):
(2.14)
Найпростіші рівняння моделі В«хижак-жертваВ» (2.1) мають ряд істотних недоліків. Так, у них передбачається необмеженість харчових ресурсів для жертви і необмежене зростання хижака, що суперечить експериментальним даним. Крім того, як видно з рис. 1, жодна з фазових кривих не виділена з точки зору стійкості. При наявності навіть невеликих збурюючих впливі...
