Введення
До диференціальним рівнянням з приватними похідними приходимо при вирішенні найрізноманітніших завдань. Наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь із частинними похідними можна вирішувати задачі теплопровідності, дифузії, багатьох фізичних і хімічних процесів.
Як правило, знайти точне рішення цих рівнянь не вдається, тому найбільш широке застосування отримали наближені методи їх рішення. У даній роботі обмежимося розглядом диференціальних рівнянь з приватними похідними другого порядку, а точніше диференціальними рівняннями з приватними похідними другого порядку параболічного типу, коли ці рівняння є лінійними, а шукана функція залежить від двох змінних
Для вирішення диференціальних рівнянь параболічного типу існує кілька методів їх чисельного рішення на ЕОМ, однак особливе положення займає метод сіток, так як він забезпечує найкращі співвідношення швидкості, точності отриманого рішення і простоти реалізації обчислювального алгоритму. Метод сіток ще називають методом кінцевих різниць.
1 Теоретична частина
1.1 Постановка задач для рівнянь параболічного типу
Класичним прикладом рівняння параболічного типу є рівняння теплопровідності (дифузії). У одновимірному по простору випадку однорідне (без джерел енергії) рівняння теплопровідності має вигляд
(1)
Якщо на кордонах і задані значення шуканої функції у вигляді
,, (2)
,, (3)
тобто граничні умови першого роду, і, крім того задані початкові умови
,, (4)
то задачу (1) - (4) називають першою начально-крайової завданням для рівняння теплопровідності (1).
У термінах теорії теплообміну - розподіл температури в просторово-часової області
a 2 - коефіцієнт температуропровідності, а (2), (3) з допомогою функцій, задають температуру на кордонах і.
Якщо на кордонах і задані значення похідних шуканої функції по просторовій змінній:
,, (5)
,, (6)
тобто граничні умови другого роду, то задачу (1), (5), (6), (4) називають другою начально-крайової завданням для рівняння теплопровідності (1). У термінах теорії теплообміну на границях в цьому випадку задані теплові потоки.
Якщо на кордонах задані лінійні комбінації шуканої функції та її похідної по просторової змінної:
,, (7)
,, (8)
тобто граничні умови третього роду, то задачу (1), (7), (8), (4) називають третьою начально-крайової завданням для рівняння теплопровідності (1). У термінах теплообміну граничні умови (7), (8) задають теплообмін між газоподібним чи рідким середовищем з відомими температурами на кордоні і на кордоні і кордонами розрахункової області з невідомими температурами,. Коефіцієнти О±, ОІ - відомі коефіцієнти теплообміну між газоподібним чи рідким середовищем і відповідної кордоном.
Для просторових задач теплопровідності в області першого початково-крайова задача має вигляд
(9)
Аналогічно ставиться друга і третя начально-крайові завдання для просторового рівняння (9). На практиці часто ставляться початково-крайові задачі теплопровідності зі змішаними крайовими умовами, коли на кордонах задаються граничні умови різних родів.
1.2 Основні визначення і кінцево-різницеві схеми
Основні визначення, пов'язані з методом кінцевих різниць, розглянемо на прикладі кінцево-різницевого рішення першої початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності (1) - (4).
Згідно методу сіток в плоскій області D будується сіткова область D h , що складається з однакових клітинок. При цьому область D h повинна якомога краще наближати область D . Сіткова область (тобто сітка) D h складається з ізольованих точок, які називаються вузлами сітки. Число вузлів буде характеризуватися основними розмірами сітки h : чим менше h , тим більше вузлів містить сітка. Вузол сітки називається внутрішнім, якщо він належить області D , а всі сусідні вузли належать сітці D h . В іншому випадку він називається граничним. Сукупність граничних вузлів утворює кордон сіткової області Г h .
Сітка може складатися з клітин різної конфігурації: квадратних, прямокутних, трикутних і інших. Після побудови сітки вихідне диференціальне рівняння замінюється різницевим рівнянням у всіх внутрішніх вузлах сітки. Потім на підставі граничних умов установлюються значення шуканого рішення в граничних вузлах. Приєднуючи граничні умови сіткової завдання до різницевих рівнянь, записаних для внутрішніх вузлів, отримуємо систему рівнянь, з якої визначаємо значення шуканого рішення у всіх вузлах сітки.
Нанесемо на просторово-часову область, звичайно різницеву сітку П‰ h, П„ :
(10)
з просторовим кроком h = l / N і кроком по часу П„ = T/K.
Рисунок 1 - Звичайно-різницева сітка
Введіть два тимчасових шару : нижній, на якому розподіл шуканої функції u ( x j , t k ) ,, відомо (при до = 0 розподіл визначається початковою умовою (4) і верхній тимчасової шар t k +1 = ( k +1) П„ , на якому розподіл шуканої функції u ( x j , t k +1 ) ,.
сіткової функції задачі (1) - (4) називають однозначне відображення цілих аргументів j , k в значення функції.
На введеної сітці вводять сіткові функції, перша з яких відома, друга підлягає визначенню. Для визначення в задачі (1) - (4) замінюють (Апроксимують) диференціальні оператори відношенням кінцевих різниць (Більш докладно це розглядають в розділах чисельних методів В«Чисельне диференціювання В»), отримують
, (11)
, (12)
Підставляючи (11), (12) в задачу (1) - (4), отримаємо явну звичайно-різницеву схему для цього завдання у формі
(13)
У кожному рівнянні цієї задачі всі значення сіткової функції відомі, за винятком одного,, яке може бути визначено явно з співвідношень (13). У співвідношення (13) крайові умови входять при значеннях j = 1 і j = N - l , a початкова умова - при k = 0.
Якщо в (12) диференціальний оператор по просторової змінної апроксимувати ставленням кінцевих різниць на верхньому часовому шарі:
, (14)
то після підстановки (11), (14) в задачу (1) - (4) отримаємо неявну звичайно-різницеву схему для цієї задачі:
(15)
Тепер сіткову функцію на верхньому часовому шарі можна отримати з рішення (15) з трехдіагональной матрицею. Ця СЛАР у формі, придатній для використання методу прогонки, має вид
де
;
;
,;
;
;
;
.
Шаблоном звичайно-різницевої схеми називають її геометричну інтерпретацію на звичайно-різницевій сітці. На малюнку приведені шаблони для явної і неявної кінцево-різницевих схем при апроксимації задачі.
Малюнок 2 - Шаблон явної кінцево-різницевої схеми для рівняння теплопровідності
Рисунок 3 - Шаблон неявної кінцево-різницевої схеми для рівняння теплопровідності
У випадку явних схем значення функції у вузлі чергового шару можна знайти, знаючи значення у вузлах попередніх шарів. У разі неявних схем для знаходження значень рішення у вузлах чергового шару доводиться вирішувати систему рівнянь. Для проведення обчислень найпростішою схемою надається перша: достатньо на підставі початкової умови знайти значення функції у ву...
