МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Московського державного відкритого університету
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ І РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Курсова робота
Моделі та методи прийняття рішень
Виконала: Токарєва О.П.
Заочна форма навчання
Курс V
Спеціальність 210100
№ залікової книжки 602654
Перевірив: Циганов Ю.К.
Москва
2008
Завдання
на курсову роботу з дисципліни В«Моделі і методи прийняття рішеньВ»
Варіант 4
Задача 1.
Вирішити графоаналітичним методом.
min j (X) = - 3x1 - 2x2
при 2x1 + x2 Ві 2
x1 + x2 ВЈ 3
- x1 + x2 Ві 1
X Ві 0
Завдання 2.
В· Знайти екстремуми методом множників Лагранжа.
В· Рішення проілюструвати графічно.
extr j (X) = x12 + x22
при x12 + x22 - 9x2 + 4,25 = 0
Завдання 3.
В· Вирішити на основі умов Куна-Таккера.
В· Рішення проілюструвати графічно.
extr j (X) = x1x2
при 6x1 + 4x2 Ві 12
2x1 + 3x2 ВЈ 24
- 3x1 + 4x2 ВЈ 12
Завдання 4.
В· Отримати вираз розширеної цільової функції (РЦФ) і скласти блок-схему алгоритму чисельного рішення задачі методом штрафних функцій в поєднанні з одним із методів безумовної мінімізації.
В· Вирішити завдання засобами MS Excel.
В· Рішення проілюструвати графічно.
max j (X) = 2x1 + 4x2 - x12 - 2x22
при x1 + 2x2 ВЈ 8
2x1 - x2 ВЈ 12
X Ві 0
Задача 1
Вирішити графоаналітичним методом.
min j (X) = - 3x1 - 2x2
при 2x1 + x2 Ві 2
x1 + x2 ВЈ 3
- x1 + x2 Ві 1
X Ві 0
Рішення:
Побудуємо лінії обмежень:
Приймемо: 2х1 + х2 = 2 (a)
х1 + х2 = 3 (b)
-х1 + х2 = 1 (c)
екстремум функція мінімізація алгоритм
Отримуємо три прямі a, b і c, які перетинаються і утворюють трикутник відповідний області яка відповідає першим трьом обмеженням, додаючи четверте обмеження отримуємо чотирикутник ABCD - допустима область значень, в якій треба шукати мінімум (на малюнку ця область не заштрихована).
Рис. 1
Приймемо цільову функцію рівною нулю (червона лінія d) тоді градієнт має координати (-3; -2). Для того, щоб знайти мінімум цільової функції будемо переміщати графік лінії d паралельно самій собі у напрямі антіградіента до входу її в область обмежень. Точка в якій область увійде в допустиму область і буде шуканої точкою мінімуму цільової функції. Це точка В (0,33; 1,33). При цьому цільова функція буде мати значення:
Темно-синя лінія на малюнку (е).
Завдання 2.
В· Знайти екстремуми методом множників Лагранжа.
В· Рішення проілюструвати графічно.
extr j (X) = x12 + x22
при x12 + x22 - 9x2 + 4,25 = 0
Рішення:
Складемо функцію Лагранжа
h (X) = x12 + x22 - 9x2 + 4,25 = 0
Складемо систему рівнянь з частинними похідними та прирівняємо їх до нуля:
Вирішимо дану систему рівнянь:
Розкладемо на множники 1 рівняння системи:
Припустимо, що, тоді. Підставимо у друге рівняння:
2x2 - 2x2 + 9 = 0
9 = 0 не вірно, отже приймаємо, що
, а
Підставляємо в третє рівняння:
Вирішуючи це квадратне рівняння отримуємо, що
Підставляємо ці значення в друге рівняння:
1.Подставім перший корінь , Отримуємо
2. Підставимо другу корінь, отримуємо
(X *, О» *)
N
X1 *
X2 *
О» *
П† (X *)
Примітка
1
0
Min
2
0
Max
- крива a (окружність)
- крива b (окружність)
Задача 3
В· Вирішити на основі умов Куна-Таккера.
В· Рішення проілюструвати графічно.
extr j (X) = x1x2
при 6x1 + 4x2 Ві 12
2x1 + 3x2 ВЈ 24
- 3x1 + 4x2 ВЈ 12
Рішення:
Вирішимо завдання на основі умов Куна-Таккера.
Складемо функцію Лагранжа:
Складемо систему рівнянь з частинними похідними та прирівняємо їх до нуля:
Вирішимо дану систему рівнянь:
1.Предположім, що, тоді з рівняння 5 отримаємо:
Припустимо, що,,, тоді з рівняння 1 отримаємо:
Нехай, тоді з рівняння 2 отримуємо:
Це рішення не задовольняє умовам задачі: (Х в‰Ґ 0)
2.Предположім, що і, тоді з рівняння 1 отримаємо:
Припустимо, що,,, висловимо з другого рівняння:
Підставимо в 3 рівняння:
Отримуємо:,,
У цій точці функція дорівнює мінімальному значенню
3. Припустимо, що, і, тоді з другого рівняння отримаємо:
Припустимо, що, і, тоді з другого рівняння випливає:
Підставимо в четверте рівняння:
Отримуємо:,,
У цій точці функція має максимальне значення:
X *
N
X1 *
X2 *
П† (X *)
Примітка
1
1
1,5
1,5
Min
2
6
4
24
Max
Пряма а відповідає графіка функції 6х1 +4 х2 = 12
Пряма b - графіком функції 2х1 +3 х2 = 24
Пряма з - графіком функції-3х1 +4 х2 = 12
Пряма d - графіком функції
Пряма е - графіком функції
Задача 4
В· Отримати вираз розширеної цільової функції (РЦФ) і скласти блок-схему алгоритму чисельного рішення задачі методом штрафних функцій в поєднанні з одним із методів безумовної мінімізації.
В· Вирішити завдання засобами MS Excel.
В· Рішення проілюструвати графічно.
max j (X) = 2x1 + 4x2 - x12 - 2x22
при x1 + 2x2 ВЈ 8
2x1 - x2 ВЈ 12
X Ві 0
Рішення:
1. Знайдемо вираз вектор функції системи:
Складемо функцію Лагранжа:
Вектор функція системи:
2. Складемо матрицю Якобі
=
