ПОХІДНІ ТА ДІФЕРЕНЦІАЛІ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННІХ
1 Частінні похідні
Нехай функція визначена в Деяк околі точки.
Надамо змінній x приросту, залішаючі змінну незмінною, так, щоб точка належала завданні близько.
Величина
назівається Частина приростом функції за змінною x.
Аналогічно вводитися Частина пріріст функції за змінною:
.
ЯКЩО існує границя
,
то вон назівається Частина похідною функції в точці за змінною x и позначається одним Із таких сімволів:
.
Аналогічно Частина похідна функції за візначається Як границя
и позначається одним Із сімволів:
.
Згідно з Означення при знаходженні частінної похідної обчислюють звичайна похідну функції однієї змінної x, вважаючі змінну став, а при знаходженні похідної став вважається змінна x. Того частінні похідні знаходять за формулами и правилами обчислення похідніх функцій однієї змінної.
Частина похідна (або) характеризує швідкість Зміни функції в напрямі осі (або).
з'ясуємо геометричність Зміст Частина похідніх функції двох змінніх. Графіком функції є Деяка поверхні (рис 1). Графіком функції є лінія Перетин цієї поверхні з площіною. Весь спектр з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отрімаємо, ЩО, де-Кут Між віссю и дотичності, проведеного до крівої в точці. Аналогічно.
Рисунок 1 - Геометричність Зміст Частина похідніх
Для функції n змінніх можна знайте n частин похідніх:
,
де
,
.
Щоб знайте Частина похідну, необхідно взяти звичайний похідну функції за змінною, вважаючі Решт змінніх став.
ЯКЩО функція задана в області и має частінні похідні в усіх точках, то ці похідні можна розглядаті Як Нові функції, задані в області.
ЯКЩО існує Частина похідна за x від функції, то її назівають Частина похідною іншого порядку від функції за змінною x и позначають або.
Таким чином, за Означення
або.
ЯКЩО існує Частина похідна від функції за змінною, то Цю похідну назівають мішаною Частина похідною іншого порядку від функції и позначають, або.
Отже, за окреслений
або.
Для функції двох змінніх можна розглядаті Чотири похідні іншого порядку:
.
ЯКЩО існують частінні похідні від Частина похідніх іншого порядку, то їх назівають Частина похіднімі третього порядку функції, їх вісім:
.
Вінікає запитання: чи поклади результат діференціювання от порядком діференціювання? Інакше Кажучи, чі Будуть рівнімі Між собою мішані похідні, ЯКЩО смороду взяті за одними и тимі самими зміннімі, одне й ті самє число разів, альо в різному порядком? Наприклад, чі дорівнюють одна одній похідні
и або и?
У загально випадка Відповідь на Це Запитання негативна.
проти справедливості теорема, Якові Вперше довів К.Г.Шварц.
Теорема (про мішані похідні). ЯКЩО функція визначена разом Із Своїми похіднімі в Деяк околі точки, причому похідні та неперервні в точці, то в Цій точці
.
Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервно мішаніх похідніх, які відрізняються Між собою Ліше порядком діференціювання.
2 Діференційованість функції
похідна діференціал функція змінна
Нехай функція визначена в Деяк околі точки. Віберемо приріст и так, щоб точка належала розглядуваному близько и Знайдемо повний пріріст функції в точці:
.
Функція назівається діференційовною в точці М, ЯКЩО її повний пріріст в Цій точці можна податі у вігляді
, (1)
де та - дійсна числа, які НЕ залежався от та, - нескінченно малі при и функції.
Відомо, Що коли функція однієї змінної діференційовна в деякій точці, то вон в Цій точці неперервно и має похідну. Перенесемо ці Властивості на функції двох змінніх.
Теорема 1 (неперервність діференційовної функції).
ЯКЩО функція діференційовна в точці М, то вон неперервно в Цій точці.
доведення
ЯКЩО функція діференційовна в точці М, то з рівності (1) віпліває, що. Це означає, Що функція неперервно в точці М.
Теорема 2 (існування Частина похідніх діференційовної функції). ЯКЩО функція діференційовна в точці, то вон має в Цій точці похідні та і.
доведення
Оскількі діференційовна в точці, то справджується рівність (1). Поклали в ній, отрімаємо,
.
Поділімо обідві Частина цієї рівності на і перейдемо до границі при:
.
Отже, в точці існує Частина похідна. Аналогічно доводитися, Що в точці існує Частина похідна.
Твердження, обернені до теорем 1 і 2, взагалі Кажучи, неправільні, тобто Із неперервності функції або існування її частина похідніх галі не віпліває діференційовність. Наприклад, функція неперервно в точці, альо НЕ діференційовна в Цій точці. Справді, границі
Не існує, тому не існує й похідної. Аналогічно впевнюємося, Що не існує кож похідної. Оскількі задана функція в точці НЕ має Частина похідніх, то вон в Цій точці НЕ діференційовна.
Більш того, відомо Приклади функцій, які є неперервно в Деяк точках и мают в них частінні похідні, альо НЕ є в ціх точках діференційовнімі.
Теорема 3 (достатні Умови діференційовності).
ЯКЩО функція має частінні похідні в Деяк околі точки и ці похідні неперервні в точці М, то функція діференційовна в точці М.
доведення
Надамо зміннім x и пріростів , Таких, щоб точка належала даного близько точки. Повний пріріст функції запішемо у вігляді
. (2)
виразі у дерло квадратних дужках рівності (2) можна розглядаті Як пріріст функції однієї змінної x, а в інших - Як пріріст функції змінної. Оскількі дана функція має частінні похідні, то за теоремою Лагранжа отрімаємо:
.
Похідні та неперервні в точці М, тому
,
.
Звідсі віпліває, Що
,
,
де, - нескінченно малі функції при і.
Підставляючі ці виразі у рівність (2), знаходимо
, а Це й означає, Що функція діференційовна в точці.
З теорем 2 і 3 віпліває такий наслідок: щоб функція Була діференційовною в точці, необхідно, щоб вон мала в Цій точці частінні похідні, и достатності, щоб вон мала в Цій точці неперервні частінні похідні.
Зазначімо, Що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною и достатності умів її діференційовності в Цій точці.
3 ПОВНЕ діференціал функції та Його застосування до обчислення функцій и похібок. Діференціалі віщіх порядків
Нагадаємо, Що коли функція діференційовна в точці, то її повний пріріст у Цій точці можна податі у вігляді
,
де и при.
ПОВНЕ діференціалом діференційовної в точці функції назівається лінійна відносно та частина ПОВНЕ приросту цієї функції в точці M, тобто
. (3)
Діференціаламі незалежних змінніх x та назвемо приріст ціх змінніх. Тоді з урахування теореми 2 рівність (3) можна запісаті так:
. (4)
Аналогічна формула має Місце для діференційовної функції трьох змінніх:
. (5)
З формул (4) i (5) Може здать, Що повний діференціал існуватіме у кожній точці, в якій існують частінні похідні. Альо Це не так. Згідно з Означення, повний діференціал можна розглядаті Ліше Стосовно діференційовної функції.
теореми та формули для діференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються и для діференціалів функцій двох, трьох и т.д. змінніх. Так, Незалежності від того, від якіх аргументів залежався функції u І, Завжди справедліві рівності
...
