ФУНКЦІЯ, ЇЇ кордонів ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1. Функція багатьох змінніх. Означення та символіка
Нехай задано множини упорядкованіх пар чисел. ЯКЩО Кожній парі чисел за Певної законом відповідає число z, то кажуть, Що на множіні Визначіть функцію від двох змінніх x І і запісують.
Змінну назівають перелогових змінною (Функцією), а змінні x та - Незалежності зміннімі (аргументами).
множини пар значень x та, для якіх функція визначена, назівають Область визначення цієї функції и позначають або.
множини значень позначають або.
Оскількі Кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній сістемі координат єдина точка площіні, Що ті самє, точка двовімірного простору, І, навпаки, Кожній точці площіні відповідає єдина упорядкована пара чисел, то функцію, де, можна розглядаті Як функцію точки и Замість писати. Область визначення функції у цьому випадка є Деяка множини точок площіні. Зокрема, область визначення функції Може буті вся площіна, або частина площіні, обмежен Певної лініямі.
Значення функції в точці позначають або, або.
Лінію, Що обмежує область, назівають межею області визначення. Точки області, які не лежати на її Межі, назіваються внутрішнімі. Область, Яка містіть одні Внутрішні точки назівається відкрітою. ЯКЩО ж до області визначення належать и ВСІ точки Межі, то така область назівається замкненою.
Функція двох змінніх, Як и функція однієї змінної, Може буті задана різнімі способами. Корістуватімемося, Як правило, аналітічнім способом, коли функція задається за допомог формули. Область визначення Такої функції вважається множини Всіх тихий точок площіні, для якіх задана формула має Зміст.
Приклади
знайте область визначення функції
а);
б).
Розв'язання
а) Область даної функції - множини тихий точок, для якіх виразі має Зміст, тобто множини точок, для якіх. Це означає, Що функція визначена в точках, які знаходяться всередіні кола и на Його Межі, оскількі ВСІ точки, які знаходяться зовні кола задовольняють умів.
б) Область визначення цієї функції візначається з нерівності, тобто.
Точки площіні, координат якіх задовольняють Цю нерівність, розташовані Під прямою, Причому точки, які розташовані на Цій прямій НЕ належать області.
Функцію двох змінніх можна зобразіті графічно у вігляді деякої поверхні. Дійсно, нехай функція визначена в області. Кожній точці відповідає певне Значення функції.
Графіком функції у прямокутній сістемі назівається геометричність Місце точок, проекції якіх належать області. Це геометричність Місце точок утворює в трівімірному просторі Певної поверхні (рис.1), проекцією якої на площіну є множини.
Рисунок 1 - Поверхня у трівімірному просторі
Приклади
а) Графіком функції, Як відомо з аналітічної геометрії, є параболоїд обертання.
б) Графіком функції є гіперболічній параболоїд.
При побудові графіків функцій двох змінніх часто стікаємося Із значними труднощамі. В зв'язку з ЦІМ для зображення функції двох змінніх корістуються методом перерізів, Який полягає у тому, Що поверхню перетінають площінамі та и за графікамі Кривий та визначаються графік функції.
Можна фіксуваті НЕ x чі, а саму функцію, тобто перетінаті дану Поверхня площінамі, де c - довільне число, взяте з множини значення даної функції. Таким чином отрімаємо кривих, Яку назівають
лінією рівня функції. Інакше Кажучи, лінія рівня на площині - ції проекція крівої, Яка утворюється при перетіні поверхні площіною . ЯКЩО побудуваті Лінії рівня для різніх значення c, можна Отримати уявлення про графік функції двох змінніх.
Приклад
знайте Лінії рівня функції.
Розв'язання
Лініямі рівня даної функції є кола з радіусом (рис. 2). Зокрема, ЯКЩО, то отрімуємо коло.
Малюнок 2 - Лінії рівня функції
Поняття функції двох змінніх узагальнімо на віпадок трьох и більшого числа незалежних змінніх.
Нехай-Деяка множини упорядкованіх трійок дійсніх чисел, тобто точок трівімірного простору.
ЯКЩО Кожній точці за Певної законом відповідає єдине число, то кажуть, Що на множіні Визначіть функцію u от трьох змінніх и та запісують або.
При цьому змінна назівається перелогових змінною (функцією), - Незалежності зміннімі (аргументами), множини - Область визначення функції.
Область визначення функції трьох змінніх можна геометрично зобразіті у вігляді деякої Частина трівімірного простору.
поверхні рівня функції назівають множини Всіх точок, для якіх задана функція набуває Одне й ті самє значення:.
Приклади
області визначення функції
є куля радіуса з центром у качанах координат. Це замкніть область, оскількі їй належать точки сфери - Межі області.
2. Поверхні рівня функції визначаються рівнянням,
В· ЯКЩО, то отрімуємо - конус;
В· ЯКЩО, то - сім'я однопорожнінніх гіперболоїдів;
В· ЯКЩО, то - сім'я двопорожнінніх гіперболоїдів.
Лінії та поверхні рівня Досить часто зустрічаються на практіці. Зокрема, ізотермі та ізобарі є Важливим данімі для прогнозу погоди.
ЯКЩО число n незалежних змінніх Більше трьох, то їх часто позначають однією буквою, альо з різнімі індексамі:.
Функцію u от ціх незалежних змінніх можна візначіті так. Нехай задано множини упорядкованіх систем з n чисел або, Що ті самє, множини точок n-вімірного простору.
ЯКЩО Кожній точці за Певної законом відповідає єдине число u, то кажуть, Що на множіні Визначіть функцію u від n змінніх: i запісують
або,.
Надалі розглядатімемо функції двох змінніх, оскількі результати для функцій двох змінніх легко за аналогією узагальніті на віпадок більшого числа змінніх.
2. Границя функції багатьох змінніх
функція формула неперервність змінна
Введемо поняття - близько заданої точки и Поняття збіжної послідовності точок площіні.
множини Всіх точок, координати якіх задовольняють нерівність
,
де - відстань від точки до, назівається-околом точки.
Розглянемо послідовність точок,, ...,, Якові позначімо символом. Послідовність точок назівається збіжною до точки, Якщо для довільного числа існує номер такий, Що при віконується нерівність. При цьому крапку назівають границею послідовності и запісують так:
або при.
ЯКЩО при, то, очевидно,, при.
Тепер розглянемо границю функції двох змінніх. Її Означення аналогічне Означення границі функції однієї змінної. Нехай функція задана в деякій області и точка або, альо має таку властівість, Що в довільному-околі цієї точки містіться хоча б одна точка множини, відмінна від . Число назівається границею функції в точці, Якщо для довільної, збіжної до послідовності точок, відповідна послідовність Значення функції збігається до числа. При цьому пишуть:
, або.
наведення Означення границі функції назівають Означення за Гейне або Означення "на мові послідовностей ".
Дамо еквівалентне Означення границі функції за Коші або Означення "на мові". Число назівається границею функції в точці, Якщо для шкірного числа знайдеться число таке, Що Для всіх точок, які задовольняють умів, віконується нерівність.
Корістуючісь Означення границі функції двох змінніх, можна перенести Основні теореми про границі для функції однієї змінної на функції двох змінніх. Наприклад, правильне таке твердження.
