Курсова робота
Тема:
Автокореляційна функція. Приклади розрахунків
Введення
Періодична залежність відігравати роль загального типу компонентів часового ряду. Не складно помітити, що кожне спостереження дуже схоже на прикордонне; до того ж є повторювана періодична складова, що означає, що кожне спостереження також схоже на спостереження, що були в тому же самий час період назад.
У загальній складності, періодична залежність може бути формально визначена як кореляційна залежність порядку n між кожним i-м елементом ряду і (in) - м елементом. Її можна вимірювати за допомогою автокореляції (тобто кореляції між самими членами ряду); n зазвичай називають лагом (іноді використовують еквівалентні терміни: зсув, запізнювання). Якщо помилка вимірювання не надто велика, то періодичність можна визначити візуально, розглядаючи поведінку членів ряду через кожні n часових одиниць.
Періодичні складові тимчасового ряду можуть бути знайдені за допомогою коррелограмми. Коррелограмми (автокоррелограмма) являє чисельно та графічно автокореляційної функції. Іншими словами, коефіцієнти автокореляції для послідовності кроків з визначеного діапазону. На коррелограмми просто відзначається діапазон в розмірі двох стандартних помилок на кожному Лаге, проте зазвичай величина автокореляції більш цікава, ніж її надійність, тому що інтерес в основному представляють дуже сильні автокореляції [6, 207].
При вивченні коррелограмми слід знати наступне: автокореляції послідовних лагів формально залежні між собою.
Розглянемо приклад. Якщо перший член ряду тісно пов'язаний з другим, а другий з третім, то перший елемент повинен також якимось чином залежати від третього і т.д. Це призводить до того, що періодична залежність може істотно змінитися після видалення автокореляцій першого порядку, (тобто після взяття різниці з лагом 1).
Мета роботи:
1. Дати основні теоретичні відомості
2. Дати приклади розрахунку АКФ
1. Теоретичні відомості
1.1 Коефіцієнт автокореляції та його оцінка
Для досконалої характеристики випадкового руху недостатньо його математичного сподівання і дисперсії. Імовірність того, що на певному місці виникнуть ті чи інші конкретні значення залежить від того, які ролі випадкова величина отримала раніше чи буде отримувати пізніше.
Іншими словами, існує поле розсіювання пар значень x (t), x (t + n) тимчасового ряду, де n - постійний інтервал або затримка, яка характеризує залежність подальших реалізацій процесу від попередніх. Тіснота цього взаємозв'язку оцінюється коефіцієнтами автоковаріаціі -
g (n) = E [(x (t) - m) (x (t + n) - m)] -
і автокореляції
r (n) = E [(x (t) - m) (x (t + n) - m)]/D,
де m і D - математичне очікування і дисперсія випадкового процесу. Для розрахунку автоковаріаціі і автокореляції реальних процесів необхідна інформація про спільне розподілі ймовірностей рівнів ряду p (x (t1), x (t2)).
r (n) = g (n)/G (0),
звідки випливає, що r (0) = 1. У тих же умовах стаціонарності множник кореляції r (n) між двома значеннями тимчасового ряду залежить лише від величини часового інтервалу n і не залежить від самих моментів спостережень t. [1]
У статистиці є кілька вибіркових оцінок теоретичних значень автокореляції r (n) процесу по кінцевому тимчасовому ряду з n спостережень. Найбільш популярною оцінкою є нециклічний коефіцієнт автокореляції із затримкою n
автокореляційної функція excel розрахунок
Головним з різних коефіцієнтів автокореляції є перший - r1, що вимірює тісноту зв'язку між рівнями x (1), x (2), ..., x (n -1) і x (2), x (3), ..., x (n).
Розподіл коефіцієнтів автокореляції невідомо, тому для оцінки їх правдивості іноді використовують непараметричних теорію Андерсона (1976), який запропонував статистику [4, 112]
t = r1 (n -1) 0.5,
яка при достатньо великій вибірці розподілена нормально, має нульову середню і дисперсію, рівну одиниці (Тінтнер, 1965).
1.2 автокореляційної функції
Послідовність коефіцієнтів кореляції rn, де n = 1, 2, ..., n, як функція інтервалу n між спостереженнями називається автокореляційної функцією.
Вид вибіркової автокореляційної функції тісно пов'язаний зі структурою ряду.
В· Автокореляційна функція rn для В«білого шумуВ», при n> 0, також утворює стаціонарний часовий ряд із середнім значенням 0.
В· Для стаціонарного ряду АКФ швидко убуває з ростом n. При наявності виразного тренда автокореляційна функція набуває характерного вигляду дуже повільно спадає кривої [3, 268].
В· У випадку вираженої сезонності в графіку АКФ також присутні викиди для запізнювань, кратних періоду сезонності, але ці викиди можуть бути завуальовані присутністю тренда або великою дисперсією випадкової компоненти.
Розглянемо приклади автокореляційної функції:
В· на рис. 1 представлений графік АКФ, що характеризується помірним трендом і неясно вираженою сезонністю;
В· рис. 2 демонструє АКФ ряду, що характеризується феноменальною сезонної детермінантою;
В· практично незгасаючий графік АКФ ряду (рис. 3) свідчить про наявність виразного тренда.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
У загальному випадку можна припускати, що в рядах, що складаються з відхилень від тренда, автокореляції немає. Наприклад, на рис. 4 представлений графік АКФ для залишків, отриманих від згладжування ряду, дуже нагадує процес В«білого шуму В». Проте нерідкі випадки, коли залишки (випадкова компонента h) можуть виявитися автокоррелірованнимі, наприклад, з наступних причин [1, 172]:
В· в детермінованих чи стохастичних моделях динаміки не врахований істотний фактор [2]
В· в моделі не враховано кілька несуттєвих факторів, взаємний вплив яких виявляється істотним внаслідок збігу фаз і напрямків їх зміни;
В· обраний неправильний тип моделі (порушений принцип контрінтуітівності);
В· випадкова компонента має специфічну структуру.
Рис. 4.
1.3 Критерій Дарбіна-Уотсона
Критерій Дарбіна-Уотсона (Durbin, 1969) являє собою поширену статистику, призначену для тестування наявності автокореляції залишки першого порядку після згладжування ряду або в регресійних моделях.
Чисельне значення коефіцієнта дорівнює
d = [(e (2) - e (1)) 2 + ... + (E (n) - e (n -1)) 2]/[e (1) 2 + ... + e (n) 2],
де e (t) - залишки.
Можливі значення критерію знаходяться в інтервалі від 0 до 4, причому табульованого його табличні порогові значення для різних рівнів значущості (Лізер, 1971).
Значення d близько до величиною 2 * (1 - r1), де r - вибірковий коефіцієнт автокореляції для залишків. Відповідно, ідеальне значення статистики - 2 (автокореляція відсутня). Менші значення відповідають позитивної автокореляції залишків, великі - негативною [2, 193].
Наприклад, після згладжування ряду ряд залишків має критерій d = 1.912. Аналогічна статистика після згладжування ряду - d = 1.638 - свідчить про деяку автокоррелірованності залишків.
2. Приклади практичних розрахунків за допомогою макросу Excel В«Автокореляційна функція В»
Всі дані взяті з сайту e3.prime-tass.ru/macro/
Приклад 1. ВВП РФ
Наведемо дані про ВВП РФ
Рік
квартал
ВВП
перший різниця
2001
I
1900,9
II
|
