МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Інститут бізнесу, інформаційних технологій і фінансів
Кафедра В«Гуманітарних і природничих дисциплінВ»
ЗАТВЕРДЖУЮ:
Перший проректор МІБІФ
_______ С.Б. Лапшин
В«__В» __________20___ р.
НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Дисципліна - Математика
Укладач - к.ф.-м.н. Н.А. Соколов
Даний навчальний посібник призначено для студентів МІБІФ усіх спеціальностей. Рекомендовано до вивчення кафедрою гієн МІБІФ
Іваново 2010
Зміст
1. МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНИЕ ЗАВДАННЯ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПРЯМИЙ І НА ПЛОЩИНІ
1.1 Завдання на прямій лінії
Вісь координат
Спрямований відрізок
Величина відрізка
Довжина відрізка
Основне геометричне тотожність
Координата точки на прямій
Відстань між точками на прямій
Приклад 1 (відстань між точками на прямий)
1.2 Завдання на площині
Прямокутна декартова система координат
Відстань між точками на площині
Полярні координати та їх зв'язок з декартовими координатами
Таблиця взаємозв'язку ПДСК і полярної системи координат
Приклад 2 (знаходження відстані між двома точками)
Обчислення площі довільного трикутника в ПДСК
Ділення відрізка в даному відношенні
Координати точки, що ділить відрізок у даному відношенні
Приклад 3 (про знаходження координат точки, що ділить
відрізок в даному відношенні)
Приклад 4 (про координати точки перетину медіан)
Рівняння лінії
Лінія
Приклад 5 (про отримання рівняння траєкторії)
Класифікація плоских ліній
Плоска лінія
Алгебраїчні лінії
Лінія порядку n (лінія n-го порядку)
Трансцендентна лінія
1.3 Рівняння прямої на площині
Кутовий коефіцієнт
1.3.1 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Приклад 6 (рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом)
Приклад 7 (порівняння швидкості зростання функцій)
1.3.2 Методи отримання рівняння прямий
Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки
Приклад 8 (одержання рівняння прямої)
Кут між двома прямими
Умова паралельності двох прямих
Умова перпендикулярності двох прямих
Рівняння прямої, що проходить через дану точку з даними кутовим коефіцієнтом
Приклад 9 (про знаходження проекції точки на пряму)
1.3.3 Інші форми рівняння прямої
Загальне рівняння прямої
Рівняння прямої у відрізках
Нормальне рівняння прямої
Відхилення та відстань точки від прямий
Теорема про відхилення точки від прямої
Приведення прямий до нормального вигляду (Нормалізація рівняння прямої)
Приклад 10 (знаходження довжини сторони трикутника)
Приклад 11 (знаходження рівняння сторони трикутника)
Приклад 12 (знаходження рівняння сторони трикутника)
Приклад 13 (знаходження кута між прямими)
Приклад 14 (знаходження рівняння прямий, перпендикулярної даної)
Приклад 16 (довжина висоти)
2. ОСНОВНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
2.1 Окружність
Визначення окружності
Приклад 17 (координати центру і радіус окружності)
2.2 Еліпс
Визначення еліпса
Зв'язок між півосями і координатами фокусів еліпса
Канонічне рівняння еліпса
Зауваження про канонічність рівняння
Ексцентриситет еліпса
Зв'язок між фокальними радіусами і ексцентриситетом еліпса
Приклад 18 (отримання рівняння еліпса)
2.3 Гіпербола
Канонічне рівняння гіперболи
Зв'язок між півосями і координатами фокусів гіперболи
Ексцентриситет гіперболи
Приклад 19 (про знаходження рівняння гіперболи)
Приклад 20 (пряма і гіпербола)
3. ВЕКТОРИ
3.1 Алгебраїчна інтерпретація векторів
Приклад 21 (алгебраїчний вектор)
Скалярний добуток векторів
Зауваження до визначення скалярного твори
Кут між векторами
Приклад 22 (скалярний твір і загальна ціна випущеної продукції)
Приклад 23 (про кількість сировини, необхідного для випуску продукції)
3.2 Геометрична інтерпретація векторів
Ортононормірованний базис в ПДСК
Розкладання вектора за ортонормированном базисі
Знаходження координат вектора
Приклад 24 (координати вектора на площині)
Вільні вектори
Приклад 25 (вільні вектори)
3.3 Основні арифметичні дії над векторами
Довжина вектора
Скалярний добуток (координатна форма)
Кут між векторами
Умова ортогональності векторів
Сума (різниця) векторів
3.4 Векторний добуток векторів
Правило буравчика
Умова колінеарності векторів
Геометричний зміст векторного твори
Властивості векторного добутку
Приклад 26 (розкриття дужок у вираженні з векторами)
Приклад 27 (обчислення площі паралелограма)
3.5 Векторні твори ортов
Векторний добуток в координатній формі
Приклад 28 (площа трикутника)
3.6 Змішане твір векторів
Права трійка векторів
Змішане твір векторів
Геометричне властивість змішаного твори векторів
Умова компланарності векторів
Змішане твір для векторів, заданих в координатній формі
Умова компланарності для векторів, заданих в координатній формі
Приклад 29 (обчислення об'єму піраміди)
4 РІВНЯННЯ ПОВЕРХНІ І РІВНЯННЯ ЛІНІЇ В ПРОСТОРІ
Поверхня
Лінія в просторі
4.1 Площина, як поверхня першого порядку
Рівняння площини, що проходить через дану точку і перпендикулярній даного вектору
Приклад 30 (отримання рівняння площині)
Загальне рівняння площини
Неповні рівняння площини
Рівняння площини у відрізках
Кут між двома площинами
Умова перпендикулярності двох площин
Умова паралельності двох площин
1. МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНИЕ ЗАВДАННЯ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПРЯМИЙ І НА ПЛОЩИНІ
1.1 Завдання на прямій лінії
Вісь координат
Пряму лінію із зазначенням початку відліку, позитивного напрямку відліку і масштабу назвемо віссю координат.
Рис.1
координати пряма площина вектор
Спрямований відрізок
Відрізок на осі називається спрямованим, якщо відомо, яка з точок відрізка є початком, а яка кінцем відрізка.
З кожним направленим відрізком пов'язані дві числові характеристики: довжина відрізка і величина (різницю між цими характеристиками необхідно чітко уявляти, оскільки нерозуміння мають різні призводить до плутанини і помилок при вирішенні завдань).
Величина відрізка
Величина відрізка може бути як позитивною, так і негативною : якщо напрямок відрізка протилежно позитивному напрямку осі, то його величина негативна ; якщо напрямок відрізка сонаправлени з позитивним напрямом осі, то його величина позитивна .
Довжина відрізка
Довжина відрізка завжди позитивна і одно абсолютним значенням (модулю) величини відрізка.
Позначення: величина -; довжина -.
Основне геометричне тотожність
При будь-якому взаємному розташуванні незбіжних точок А, В і С виконується тотожність
Координата точки на прямій
Якщо всю вісь позначити Ох, а через x 1 - величину відрізка Оx 1 , то точка А, що знаходиться в точці x 1 , (Рис.2) буде...
