Обчислення радіальних функцій Матье-Ханкеля
Н.І. Волвенко, V курс, Інститут математики і комп'ютерних наук ДВГУ, Т.В. Пак - науковий керівник, доцент, к.ф.-м.н., в.о. зав. кафедрою КТ
Функції Матьє, на відміну від широко відомих спеціальних функцій, таких як поліноми Лежандра, функції Бесселя та Неймана, вивчені ще недостатньо повно. Майже всі використовувані методи розрахунку пов'язані з розкладанням в ряди по більш простим циліндричним і т.п. функціям. Недолік таких методів в тому, що вони досить громіздкі і мають обмежену придатність.
Функції Матьє виникають при поділі змінних в рівнянні Гельмгольца:
, (1)
де - деяка речова позитивна константа і - оператор Лапласа.
Еліптичні координати, що допускають поділ змінних пов'язані з декартовими:,.
Вважаючи в методі розділення змінних, отримуємо рівняння:
,,
де - константа розділення. Ці рівняння є варіантами рівнянь Матьє.
Диференціальне рівняння Матьє має вигляд
, (2)
де зазвичай змінна має речовинне значення, а - заданий речовинний ненульовий параметр.
Власні значення і граничні умови
(3)
відповідають парних функцій Матьє, а власні значення і граничні умови
(4)
непарних функцій Матьє
В силу властивостей симетрії рівняння (2) має 4 типи періодичних рішень, які називаються функціями Матьє Перший роду: парну ПЂ-періодичну, парну 2ПЂ-періодичну, непарну 2ПЂ-періодичну, непарну ПЂ-періодичну функції, які частіше всього позначаються таким чином:,,,.
Власні значення, що відповідають функціям, ,,, Позначаються через,,,.
Модифіковане рівняння Матьє
(5)
виходить з рівняння Матьє (2) підстановкою. В залежності від того, буде в (5) або, це рівняння має або рішення, або рішення, які є відповідно парною і непарною функціями від Оѕ.
Функції, що є рішеннями рівняння (5), називаються радіальними функціями Матьє (РФМ).
Розрізняють РФМ 1, 2, 3 і 4 роду:,,,.
Обчислення функцій Матьє I роду
Радіальні функції Матьє першого роду є рішеннями ОДУ другого порядку
, (6)
задовольняють в нулі умові
, якщо (7)
, якщо
І на нескінченності умові
~, (8)
де - задане, а () - власні значення задачі (2), (3), (4),
Параметр використовуються для відмінності випадків використання парного або непарного номера власного значення для ПЂ і 2ПЂ періодичних власних функцій:
Для вирішення завдання (6) - (8) використовуємо модифікацію методу фазових функцій.
Введемо заміну змінних:
(9)
(10)
Тут - "Масштабує" функція, позитивна на, яка задовольнить умові при, її вибір знаходиться в нашому розпорядженні.
Підставляючи (9), (10) в вихідне рівняння (6) завдання для і:
(11)
(12)
де і.
Для спільного вирішення задач Коші для і використовується наступний прийом. Функцію шукаємо в точках. На кожному з відрізків допоміжні функції знаходяться, як рішення задач Коші
(13)
де.
Оскільки для будь-яких рішень і , рівнянь (12) і (13) справедливе співвідношення, одержуємо рекурентні формули В«НазадВ» для обчислення,,
,, (14)
причому.
Отже, короткий алгоритм рішення задачі (6) - (8) полягає в наступному:
1. Вирішуються спільно задачі Коші (11), (12) запам'ятовуючи в точках розбиття відрізка величини,,;
2. Вважаючи, за формулою (14) обчислюємо,;
3. За формулою (10) обчислюємо функції,;
4. З (9) і (10) отримуємо вираз для похідної функції
.
В якості згладжує функції пропонується наступна функція
, де.
Обчислення функцій Матьє III роду
Хвильова радіальна функція Матьє-Ханкеля третього роду є рішенням звичайного диференціального рівняння другого ворядка на полубесконечной інтервалі:
,. (15)
Умова на нескінченності
~,. (16)
Для рівняння (15) умова (16) еквівалентно умові:
,
і при достатньо великих лінійному співвідношенню:
,.
(17)
Рішення задачі (17) існує, єдино і при достатньо великих представимо асимптотическим поруч .
Розглянемо алгоритм знаходження функцій. Для їх обчислення потрібно перенести граничне умова
,
де, справа наліво від точки до точки.
Скористаємося варіантом ортогональної диференціальної прогонки.
По всьому відрізку переносимо співвідношення
,
зажадавши виконання умови для всіх,, де і задовольняють системі диференціальних рівнянь 1-ого порядку
.
Функції Матьє третього роду шукаємо за формулою:
,
де.
Функції Матьє другого роду обчислюються за формулою:
.
функція Матье диференціальне рівняння
Описані алгоритми обчислення радіальних функцій еліптичного циліндра випробувані в широкому діапазоні зміни параметрів. Точність результатів визначається точністю використовуваного методу Рунге-Кутта для розв'язання відповідних задач Коші.
Література
1. Абрамов О.О., Дишко А.Л., Пак Т.В. і ін Чисельні методи розв'язання задач на власні значення для систем звичайних диференціальних рівнянь з особливостями. - Третя конференція з диференціальних рівнянь і додаткам. - Тези доповідей. Руссе, Болгарія, 1985. - С.4.
2. Міллер У. мл. Симетрія і поділ змінних/Пер. з англ. - М.: Мир, 1981. - 342 с.
3. Довідник по спеціальним функціям з формулами, графіками таблицями. /За редакцією М. Абрамовіц, І. Стігала. - М. - 1979. - 832 с.: Іл.
