Введення
Представлена робота присвячена темі В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В». Проблема даного дослідження носить актуальний характер в сучасних умовах. Про це свідчить часте вивчення порушених питань. Тема В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В»вивчається на стику відразу декількох взаємопов'язаних дисциплін. Питанням дослідження присвячено безліч робіт. В основному матеріал, викладений в навчальній літературі, носить загальний характер, а в численних монографіях з даної тематики розглянуті більш вузькі питання проблеми даного дослідження. Однак потрібно урахування сучасних умов при дослідженні проблематики означеної теми. Висока значимість і недостатня практична розробленість проблеми В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В»визначають безсумнівну новизну даного дослідження.
Актуальність цієї роботи зумовлена, з одного боку, великим інтересом до теми В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В»в сучасній науці, з іншого боку, її недостатньою розробленістю. Розгляд питань пов'язаних з даною тематикою носить як теоретичну, так і практичну значимість.
Теоретичне значення вивчення проблеми В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В»полягає в тому, що обрана для розгляду проблематика знаходиться на стику відразу декількох наукових дисциплін.
Об'єктом даного дослідження є аналіз умов поставленого проблеми.
При цьому предметом дослідження є розгляд окремих питань, сформульованих в Як задач даного дослідження.
Метою дослідження є вивчення теми В«Теорема Дезарга і її застосування до розв'язання задач з курсу шкільної геометрії В»з точки зору новітніх вітчизняних і зарубіжних досліджень з подібною проблематики. У рамках досягнення поставленої мети були поставлені та вирішені наступні завдання :
1. Вивчити теоретичні аспекти і виявити природу даної теми;
2. Сказати про актуальність проблеми в сучасних умовах;
3. Викласти можливості вирішення тематики;
4. Позначити тенденції розвитку тематики В»;
Дезарг математик теорема евклідової
1. Історичні аспекти даної проблеми
Жерар Дезарг (Dйsargues) [1593-1662, (за ін даними - 1591-1661)], французький математик. Був військовим інженером. Заклав основи проективної і нарисної геометрії. У своїх дослідженнях систематично застосовував перспективне зображення. Першим ввів в геометрію нескінченно вилучені елементи. Дезарга належить одна з основних теорем проективної геометрії (теорема Дезарга) також твори про різьбленні по каменю і про сонячний годинник, де він дає геометричні обгрунтування практичним операціям. У 1636 р. Дезарг написав невеликий твір під заголовком В«Загальний метод зображення предметів у перспективіВ» (Париж, 1636). В цій роботі він уперше застосовує метод координат для побудови перспективних масштабів. В якості однієї з осей він вибирає лінію перетину картинної та предметної площини, другою віссю служить перпендикуляр до предметної площини, лежачий в картинній площині, а третьої - перпендикуляр до картинної площини, лежачий в предметній. Отже, картинна і предметна площині служать двома координатними площинами, а третя до них перпендикулярна. На осях координат наносяться масштаби широт, висот і глибин, при цьому останній дається в перспективі. Інше твір Дезарга, присвячене питанню про перетин конуса площиною (1639) було загублене і тільки випадково в 1845 р. французький геометр і історик математики М. Шаль знайшов у одного паризького букініста рукописну копію з цієї чудової праці. У ньому Дезарг вперше розглядає конічні перетини як перспективу кола. Завдяки цьому всі вчення про конічні перетини приймає надзвичайно просту витончену форму, охоплюючи в одному методі всі три види кривих (еліпс, парабола і гіпербола). Користуючись перспективою як загальним методом дослідження, Дезарг прийшов до необхідності розглядати так звані нескінченно вилучені елементи простору. Він вважав, що всі паралельні прямі перетинаються в точці, яка є таким нескінченно віддаленим елементом. Цим кроком Дезарг поклав початок проективному поданням простору (повне проективне простір) і зробив можливим вивчення проективних перетворень. Нарешті, Третім найважливішим результатом роботи Дезарга є його дослідження інволюційного відповідності точок прямолінійного ряду. Тут і самий термін В«ІнволюціяВ» належить Дезарга і взятий ним з ботанічного словника. Пряму, на якій розташований ряд точок, він називає В«древомВ», точку відліку відрізків - В«СтволомВ», самі відрізки - В«гілкамиВ» і т.д. Дезарг розглядав інволюційного розташування пар точок на прямій і йому належить доказ вельми загальної теореми про те, що пучок конічних перетинів, що проходять через чотири нерухомих центру в перетині з прямою дає інволюцію. Нарешті, необхідно згадати про теорему Дезарга щодо гомологічних трикутників. Фундаментальне значення цієї теореми для геометрії не можна не помітити. Роботи Дезарга заклали наукові основи проективної геометрії, тому його слід по справедливості вважати основоположником цієї дисципліни.
Теорема Дезарга є фундаментальною теоремою проективної геометрії. Перед тим як сформулювати її, дамо проективне визначення трикутника.
Трикутником, або трехвершинников, або трехсторонніком називається фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох прямих (а не відрізками прямих), що з'єднують ці точки попарно (рис. 1). Точки називаються вершинами, а прямі - сторонами трикутника.
В Надалі будемо говорити про трикутниках тільки в сенсі цього визначення, якщо не буде обумовлено протилежне.
Теореми Дезарга, пряма і зворотна, вірні як у тому випадку, коли трикутники АВС і А'В'С 'розташовані в двох різних площинах, так і в тому випадку, коли вони розташовані в одній площині. У першому випадку ми говоримо про теорему Дезарга в просторі, у другому випадку про теорему Дезарга на площині. Точка S називається точкою Дезарга або центром перспективності , а пряма s - Прямий Дезарга або віссю перспективності даних трикутників. Два трикутника, що задовольняють умовам теореми Дезарга в просторі називаються перспективними , так як один з них є перспективний образ іншого; два трикутники, що задовольняють умовам теореми Дезарга на площині, називаються гомологічними .
Теорема Дезарга: Якщо прямі проходять через відповідні вершини двох трехвершинников перетинаються в одній точці, то точки перетину відповідних сторін цих трехвершинников лежать на одній прямій. AB Г‡ A ' B ' = P , AC Г‡ A ' < i> C '= Q , BC Г‡ < i> B ' C ' = R ,
Доказ: Розглянемо вектори породжують відповідні точки, так як А, А ', О лежать на одній прямій, то вектори які породжують їх лінійно залежні, тобто = .
З того, що В ', В, О - лежать на одній прямій Гћ,, - лінійно залежні Гћ =
Точки С, З ', О - лежать на одній прямій Гћ = г +
== г +
,, - лінійно залежні Гћ точки А, В, Р ГЋ одній прямій, ,, - лінійно залежні Гћ точки А ', В', Р ' ГЋ одній прямій.
P = AB Г‡ A ' B '
- ...
