Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа вищої професійної освіти
Амурський державний університет
(ГОУ ВПО В«АмГУВ»)
Кафедра математичного аналізу і моделювання
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА до курсової роботи
на тему: Еліптичні функції
з дисципліни: Теорія функцій комплексного змінного
Виконавець
студент групи
Керівник
Нормоконтроль
Благовєщенськ 2007
Реферат
Робота 21С., 2 рисунка, 5 джерел.
Еліптичні функції, еліптичні інтеграли, еліптичні координати, полюс, мероморфних, конгруентність, голоморфних, властивості.
В цій роботі будуть розглянуті властивості еліптичних інтегралів та еліптичних функцій. Еліптичні функції зустрічаються в багатьох задачах динаміки твердого тіла, аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності та ін Почнемо з викладу загальних властивостей мероморфних періодичних функцій, в сукупність яких входить, зокрема, і клас еліптичних функцій. Одна з наших завдань полягає в тому, щоб побудувати за допомогою того чи іншого аналітичного апарату елементи, за допомогою яких можна виразити в кінцевому вигляді всі еліптичні функції.
інтеграл еліптична функція
Зміст
Введення
1 Загальні властивості еліптичних функцій
1.1 Визначення еліптичної функції
1.2 Паралелограми періодів
1.3 Основні теореми
1.4 Еліптичні функції другого порядку
2 Приклади. Додатка
2.1 Обчислення довжини дуги еліпса
2.2 Еліптичні координати
Висновок
Бібліографічний список
1. Загальні властивості еліптичних функцій
1.1 Визначення еліптичної функції
еліптичних функцій називається мероморфних функція, що допускає періоди, які все можуть бути утворені допомогою додавання і віднімання з двох первинних періодів 2 і 2, мають уявне ставлення
.
Коротше кажучи, мероморфних функція називається еліптичною, якщо вона двоякоперіодіческая з періодами 2 і 2, відношення яких є уявне число. Така функція f ( z ) задовольняє співвідношенням
(1)
звідки випливає, що
(2)
де m і n позначають будь-які цілі числа, позитивні, негативні або нулі.
Встановимо дві формули для еліптичної функції, з яких одна буде давати її розкладання на суму найпростіших елементів з явним виділенням її полюсів і їх головних частин, а інша буде представляти еліптичну функцію за допомогою відношення творів елементарних множників з явним виділенням її нулів і полюсів. Перш ніж приступити до здійснення цієї завдання, ми встановимо ряд загальних властивостей еліптичної функції.
Примітка - при визначенні еліптичної функції передбачалося, що ставлення
її первісних періодів є уявним числом. Якщо це відношення є число дійсне, то функція є просто періодичної чи наводиться до постійного. Крім того, у всьому подальшому будемо вважати коефіцієнт при уявній частині відносини позитивним, так як це досяжно шляхом зміни знака у одного з початкових періодів.
1.2 паралелограма періодів
Щоб дати геометричне тлумачення двоякою періодичності, розглянемо в площині комплексного змінного чотири точки
вважаючи довільним комплексним числом.
Так як відношення є уявне число, то ці чотири точки зображають вершини деякого паралелограма P .
Вважаючи
,
ми бачимо, що чотири точки, згадані вище, є вершини паралелограма, який може бути отриманий з основного паралелограма допомогою деякого зсуву.
Надаючи m і n всілякі цілі значення, ми одержимо мережу паралелограмів, конгруентних між собою і покривають усю площину (рис. 1).
Щоб будь-які два паралелограма нашої мережі не мали спільних точок, умовимося зараховувати до кожного паралелограма лише частина його межі, а саме сторони
,
,
за винятком кінців
Рисунок 1 - Мережа паралелограмів
Що ж стосується двох сторін паралелограма, ми їх будемо розглядати приналежними до суміжних паралелограма с. Тоді будь-яка точка площині належить одному і тільки одному з цих паралелограмів, наприклад .
Точки виду
,
де і - будь-які цілі числа, називаються конгруентними або еквівалентними з точкою z ; в параллелограммах вони займають те саме положення, що і точка z в.
Серед цих еквівалентних точок є одна точка, яка належить основним паралелограма P (ця точка.
Отже, можна сказати, що всяка точка площини еквівалентна деякій і притому єдиною точці основного паралелограма Р . Будемо називати паралелограми паралелограма періодів; вибір серед них основного паралелограма Р , очевидно, довільний. Тепер можна геометрично витлумачити співвідношення (2). Вони виражають, що функція f ( z ) приймає одне і те ж значення у всіх еквівалентних точках. Отже, достатньо вивчити еліптичну функцію в одному з паралелограмів, щоб знати її поведінку у всій площині.
1.3 Основні теореми
Теорема 1. Похідна еліптичній функції є також функція еліптична. У самому справі, диференціюючи співвідношення (1), що має місце при будь-якому z , отримуємо
Таким чином, похідна f '( z ) має ті ж періоди 2 та 2, що і первісна функція. З іншого боку, будучи однозначною, як і f ( z ) , f '( z ) не може мати на кінцевому відстані інших особливих точок, крім полюсів, так як якщо f ( z ) голоморфних в деякій точці, то похідна f '( z ) теж голоморфних в цій точці, а якщо f ( z ) має полюс в деякій точці, то й f '( z ) буде мати полюс в цій точці. Отже, f '( z ) є мероморфних функція, допускає два періоди 2 і 2, і згідно з визначенням вона буде еліптичній функцією з тими ж періодами, що і первісна функція.
Теорема 2. Еліптична функція, відмінна від постійного, має принаймні один полюс в паралелограмі періодів.
Дійсно, допускаючи противне, ми мали б цілу функцію, відмінну від постійного. Її паралелограм періодів є обмежена частина площини і в цій області, включаючи її кордон, наша функція голоморфних, а значить, і поготів неперервна, а тому і обмежена. Отже, існує таке позитивне число М , що у всьому основному паралелограмі періодів маємо
Так як у всіх інших параллелограммах мережі значення функції повторюються, то нерівність | f ( z ) | < M буде справедливо для всіх точок z площині. Отже, ми маємо цілу функцію f ( z ) обмежену у всій площині. Згідно з теоремою Ліувілля звідси укладаємо, що f ( z ) приводиться до постійного. Отримане протиріччя переконує нас в справедливості теореми.
Наслідки
1 Якщо дві еліптичні функції з однаковими періодами мають в паралелограмі періодів одні й ті ж полюси з однаковими головними частинами, то вони відрізняються лише постійним доданком.
Справді, покладемо, що і дві еліптичні функції з однаковими періодами 2 і 2, які мають у паралелограмі періодів одні й ті ж полюси з однаковими головними частинами. Тоді їх різниця - буде двоякоперіодіческой функцією з періодами 2 і 2, без полюсів, а значить, по доведеною теоремою ця різниц...
