Введення
В даний час різні види комплексних чисел вивчаються досить інтенсивно. З вченням про комплексні числа пов'язані важливі, не вирішені до сьогоднішнього дня завдання, над якими працюють учені в багатьох країнах.
Всі системи найзагальніших комплексних чисел фактично зводяться до наступних трьом різним системам: звичайні комплексні числа, дуальні числа, подвійні числа.
Звичайні комплексні числа тісно пов'язані з питанням про рішення рівнянь другого і вищих ступенів, вони відіграють основну роль в алгебрі і в багатьох розділах математичного аналізу. Дуальні ж і подвійні числа не мають ніякого відношення до теорії квадратних рівнянь з речовими коефіцієнтами і взагалі порівняно мало пов'язані з алгеброю. Основні застосування ці числа знаходять в геометрії (деякі застосування ці системи комплексних чисел знаходять також в теорії чисел).
Основні застосування подвійних чисел відносяться до неевклідової геометрії Лобачевського і до деяких іншим геометрії, відмінним від звичної геометрії Евкліда (наприклад, до так званої псевдоевклидовой геометрії, що грає фундаментальну роль в фізичної теорії відносності).
У нашій роботі досліджуються дуальні і подвійні числа, а також застосування цих чисел в геометрії Евкліда і в геометрії Лобачевського.
Глава I . Визначення дуальних і подвійних чисел
1.1 Дуальні числа
Додавання, віднімання та множення дуальних чисел визначається формулами:
(1)
Остання з цих формул показує, що твір дуального числа на інше число буде речовим лише в тому випадку, коли; якщо, то останнє рівність можна записати у вигляді. Речовим, в Зокрема, є добуток чисел і :
(2)
Число називають спряженим числу (І назад, пов'язане); корінь квадратний з твору (що співпадає з напівсумою сполучених чисел і) називають модулем дуального числа і позначають через (відзначимо, що модуль дуального числа може бути і негативним). Сума двох сполучених чисел є речовинною; різниця є числом чисто уявним (тобто відрізняється від лише речовим множником). Зауважимо ще, що, в повній аналогії із звичайними комплексними числами, дуальне число тоді і тільки тоді збігається зі своїм спряженим, коли воно є речовим. Також і справедливі для комплексних чисел формули (3)
,, , (3)
цілком залишаються в силі для дуальних чисел.
Правило ділення на дуальне число ми тепер можемо записати так:
. (4)
Звідси видно, що для можливості поділу на дуальне число необхідно, щоб модуль цього числа був відмінний від нуля; при цьому, на противагу звичайним комплексним числам, дуальне число нульового модуля саме може бути відмінним від нуля. У тих випадках, коли неможливість поділу на числа нульового модуля з'явиться для нас утрудненням, ми будемо вважати, що приватні та є числами нової природи, які домовимося позначати через і ; Введемо також в розгляд всілякі числа виду, де речовинно. Тоді будь-яке дуальне число матиме протилежне:
при; .
Правила дій над символом визначаються наступними формулами:
,, ,,, (5)
тут - довільне число, причому в середньому рівність, а під другому і в двох останніх (у цих формулах може бути і числом виду); правила дій над числами визначаються так:
(6)
Покладемо ще
,; (6а)
тоді для розширеного (Введенням чисел,) безлічі дуальних чисел зберігає силу рівність і все правила (3).
Число нульового модуля можна характеризувати тим, що існує відмінна від нуля дуальне число, рівне, твір якого на число дорівнює нулю:
. (7)
Тому ці числа називають дільниками нуля.
Дуальні числа ненульового модуля можна також записати в формі, близькій до тригонометричній формі комплексного числа:
. (8)
Тут є модуль числа, а відношення називається аргументом цього числа і позначається через Arg z ( r може бути довільним речовим числом, відмінним від нуля; - довільним дійсним числом). Очевидно, що речові числа характеризуються рівністю нулю їх аргументу; сполучені дуальні числа і мають однаковий модуль r і протилежні аргументи і.
Форма (8) записи дуальних чисел дуже зручна в тих випадках, коли ці числа припадає перемножувати або ділити. Дійсно,
; (9)
отже, модуль твори двох дуальних чисел дорівнює добутку модулів співмножників [1], а аргумент твори - сумі аргументів. Звідси випливає, що модуль приватного двох дуальних чисел дорівнює приватному модулів цих чисел, а аргумент приватного - різниці відповідних аргументів:
. (10)
Нарешті, з цих правил виводяться також і закони, що дозволяють піднімати дуальне число в будь-яку ступінь і отримувати з нього корінь:
(11)
(з останньої формули випливає, що корінь нечетной ступеня з дуального числа при визначається однозначно, корінь же четной ступеня не існує, якщо r <0, і має два значення, якщо r > 0 [2]) .
1.2 Подвійні числа
В повній аналогії з усім викладеним вище назвемо подвійні числа і сполученими, якщо вони мають вигляд
і.
Сума і твір сполучених подвійних чисел речовинні; корінь квадратний із числа, знак якого збігається зі знаком більшого по абсолютній величині з дійсних чисел a і b , називається модулем числа і позначається через. Легко перевірити, що для подвійних чисел залишаються в силі всі формули (3); крім того, ясно, що рівність характеризує речові числа, а рівність - чисто уявні числа.
Додавання, віднімання, множення і поділ подвійних чисел визначаються формулами
(12)
Звідси випливає, що і тут розподіл на можливе лише в тих випадках, коли. Подвійні числа, модуль яких дорівнює нулю, називаються дільниками нуля (зауважимо, що). У деяких випадках виявляється зручним вважати приватні, і числами нової природи; при цьому виявляється необхідною ще розширити поняття подвійного числа, ввівши додатково твори і нових чисел і на всілякі речові числа c і приватні й. Правила дії над символами,,, і визначаються формулами (5) і поруч співвідношень, споріднених (6), наприклад:
(13)
і т. д. Природно також покласти
,, ,, (13а)
що забезпечить виконання для розширеного зазначеним чином безлічі подвійних чисел рівності і всіх співвідношень (3).
Подвійні числа ненульового модуля можна також записати у формі, аналогічній формі (8) запису дуальних чисел. Нехай - модуль подвійного числа; далі
.
З визначення модуля випливає, що і що більша (по абсолютною величиною) з дробів і позитивна. Звідси випливає, що
, або ,, (14)
де є деяке число (певне формулами (14)), а й - Гіперболічний косинус і гіперболічний синус аргументу.
Таким чином, маємо
або. (15)
величина називається аргументом подвійного числа z і позначається через Arg z [3].
Форма (15) запису подвійних чисел дуже зручна в тих випадках, коли доводиться перемножувати два або декілька подвійних чисел. Дійсно, з формул додавання гіперболічних функцій випливає, що
(16)
Таким чином, модуль твори двох подвійних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент твори - сумі аргументів; при цьому твір має першу або другу з форм (15) в залежності від того, чи мають співмножники одну і ту ж або різні форми. З формул (16) відразу випливають правила поділу подвійних чисел:
;
. (17)
З формул (16) виходять також правила, що дозволяють зводити подвійне число в будь-яку цілу позитивну ступінь n і отримувати з нього корінь ступеня n :
,
при
n непарному,
при n парному;
Глава II
