ВСТУП
Будова абелевих груп багато в чому визначається будовою максимальних р-підгруп. У теорії кінцевих груп максимальні підгрупи також відіграють істотну роль. Теорема, доведена норвезьким математиком Л. силових в 1872 році, стала наріжним каменем теорії кінцевих груп. Вона неодноразово узагальнювалася в різних напрямках як в нашій країні (С. А. Чуніхін та ін), так і за кордоном (Ф. Холл та ін.) У зв'язку з цією теоремою і на честь її автора максимальні р-підгрупи кінцевих (а часто і нескінченних) груп називаються сіловскімі р-підгрупами. Проблема знаходження сіловской підгрупи даної групи є важливим завданням обчислювальної теорії груп. Для груп перестановок Вільям Кантор довів, що сіловская p-підгрупа може бути знайдена за час, полиномиальное від розміру задачі (в даному випадку це порядок групи, помножений на кількість породжують елементів).
Кажуть, що група G діє на безлічі М, якщо для кожних елементів, визначений елемент, причому і me = m для всіх,; тут e - одиниця групи G. Безліч називається орбітою елемента m. Очевидно, орбіти будь-яких двох елементів з М або збігаються, або не перетинаються, так що безліч М розбивається на непересічні орбіти. Людвіг Сілов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow - фонетично правильніше транслітерація В«СюловВ»; 1832-1918) - норвезький математик. Автор декількох робіт з теорії еліптичних функцій і по теорії груп. З 1858 по 1898 роки був учителем у школі в місті Фредеріксхальд. У 1862 році Сілов замінив професора з теорії Галуа в університеті Хрістіанії, де він поставив завдання, яка призвела до найбільш важливого результату його життя - так званим теоремам Силова, опублікованими в 1872 році.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕМИ силових
Нехай G - кінцева група, а р - просте число, яке ділить порядок G. Підгрупи порядку p t називаються р-підгрупами. Виділимо з порядку групи G при
марних дільник по р, тобто | G | = p n s , Де s не ділиться на р. Тоді сіловской р-підгрупою називається підгрупа G, що має порядок p n . Під N (P) розуміється нормалізатор підгрупи Р в G.
Теорема 1. (перша теорема Силова).
Сіловскіе р-підгрупи існують.
Доказ.
Доведемо теорему індукцією по порядку G. При | G | = p теорема вірна. Нехай тепер | G |> p. Нехай Z (G) - центр групи G. Можливі два випадки:
а) p ділить | Z |. Тоді в центрі існує циклічна група (як елемент примарних розкладання центру), яка нормальна в G. Факторгруппамі G по цій циклічної групі має менший порядок, ніж G, значить, по припущенню індукції, в ній існує сіловская p-підгрупа. Розглянемо її прообраз в G. Він і буде потрібною нам сіловской p-підгрупою G.
б) p не ділить | Z |. Тоді розглянемо розбиття G на класи спряженості: (оскільки якщо елемент лежить в центрі, то його клас спряженості складається з нього одного). Порядок G ділиться на p, значить, повинен знайтися клас K a , порядок якого не ділиться на p. Відповідний йому нормалізатор має порядок p n r, r
Теорема 2. (друга теорема Силова).
Всяка p-підгрупа міститься в деякої сіловской p-підгрупі. Всі сіловскіе p-підгрупи сполучені (тобто кожна представляється у вигляді gPg - 1 , де g - Елемент групи, а P - сіловская підгрупа з теореми 1).
Доказ
Отже, нехай сіловскіе р-підгрупи в G існують і Р - одна з них. Нехай, далі, - довільна р-підгрупа групи G, не обов'язково сіловская. Змусимо діяти лівими зрушеннями на безлічі лівих суміжних класів G по Р. Довжина будь орбіти відносно ділить порядок,. Таким чином,
де, ... - Довжини орбіт. Так як НОД (m, p) = 1, то хоча б одна орбіта має довжину p ki = 1, т. тобто
(1)
для деякого елемента. Переписавши співвідношення (1) у вигляді, ми приходимо до висновку, що
(2)
(оскільки - група). Зокрема, якщо - сіловская р-підгрупа, то | | = | Р |, і з (2) випливає, що =.
Теорема 3 (третя теорема Силова).
Кількість сіловскіх p-підгруп порівнянно з одиницею за модулем p та ділить порядок G.
Доказ.
Розглянемо кілька більш загальну ситуацію. Саме, нехай, де, t може ділиться на p, і нехай - число всіх підгруп порядку в G. Виявляється, що має місце порівняння, зокрема, G містить підгрупи будь-якого порядку, s = 1,2, ..., n і.
Міркуємо таким чином. Дія лівими зрушеннями групи G на собі індукує дію G на множині
всіх-елементних підмножин. Причому. Безліч розбивається на G-орбіти, так що
,
де - стаціонарна підгрупа деякого представника.
Так як, то - об'єднання кількох правих суміжних класів G по. Тому, звідки. У випадку маємо. Рівності і еквівалентні. Отримуємо
(- деякий елемент з G) і, стало бути, - підгрупа порядку. Орбіта вичерпується деяким числом лівих суміжних класів групи G по.
Зворотно: кожна підгрупа порядку призводить до орбіті довжини t. Різні підгрупи з приводять до різних орбітах, оскільки з випливає, звідки і. Таким чином, мається взаємно однозначна відповідність між підгрупами порядку і орбітами довжини t. Тоді порівняння записується як
Де слід було б написати, щоб підкреслити залежність від G.
Якщо взяти за G циклічну групу порядку, то для неї і тому
Так як ліві частина порівнянь по одному і тому ж модулю збігаються, то маємо
А це і дає шукане порівняння
Отримаємо корисне уточнення теорем Силова.
Теорема 4.
Справедливі наступні твердження:
1). сіловская p-підгрупа P групи G нормальна в G тоді і тільки тоді, коли
2). кінцева група G порядку є прямим твором своїх сіловскіх - підгруп в точності тоді, коли всі ці підгрупи нормальні в G.
Доказ.
1). Всі сіловскіе підгрупи, що відповідають даним простому дільнику р порядку, по другій теоремі Силова сполучені, і якщо P-одна з них, то
нормальна в G
2). Якщо - прямий добуток своїх сіловскіх підгруп, то нормальна в G як будь-якої прямої множник. Значить умова нормальності необхідно.
Нехай тепер нормальна в G,, тобто . Зауважимо, що. Стало бути,, а звідси для будь-яких маємо
Тобто елементи та перестановочне.
Уявімо, що одиничний елемент записаний у вигляді, де - елемент порядку. Поклавши і скориставшись перестановочне отримаємо
Але так як а й взаємно прості, то. Це вірно при будь-якому j, і, стало бути, рівність можливо лише при
З іншого боку, кожен елемент порядку, записується у вигляді,,. Досить покласти, де показники визначаються умовами
теорема компон кінцева група
,
Якщо тепер - інша запис x у вигляді твору-елементів, то в силу перестановочне, з різними нижніми індексами будемо мати
,
що, як було показано вище, тягне рівності
, тобто .
Отже, кожен елемент групи G записується, і притому єдиним чином у вигляді.
Зауваження
Нормальна сіловская p-підгрупа P групи G характеристичностью в G, тобто інваріантна при дії будь-якого автоморфізмів. Дійсно,, тому - сіловская р-підгрупа, і, стало бути,, якщо. Аналоги сіловскіх підгруп простежуються в алгебраїчних структурах, далеких від кінцевих груп.
Слідство
Якщо все дільники | G |, крім 1, після ділення на p дають залишок, відмінний від одиниці, то в G є єдина сіловская p-підгрупа і вона є нормальною (і навіть характеристичної).
Приклади сіловскіх підгруп.
Приклад 1.
Адитивна група кільця відрахувань розкладається в прямий добуток своїх сіловскіх p-підгруп, які є циклічними підгрупами порядків, якщо n має канонічне розкладання n =.
Приклад 2.
Сіловскіе p-підгрупи симетричних груп. Як ми знаємо,...
