Вступ
Для кращє сприйняттів форми об'єкта необхідно мати Його зображення в трівімірному просторі. У багатьох випадка наочно представлені про об'єкт можна здобудуть шляхом виконан операцій обертання и перенесенню, а кож побудова проекцій. Введемо Однорідні координати. Точка в трівімірному просторі задається чотірімірнім вектором чі. Перетворення з однорідніх координат опісується співвідношеннямі
( 4 .1)
де T - Деяка матриця перетворення.
Ця матриця Може буті представлена ​​у вігляді 4 Окрема частин
Матриця 3x3 здійснює Лінійне перетворення у віді Зміни масштабом, зсуву й обертання. Матриця-рядок 1х3 робіть перенесення, а матриця-стовпець 3х1 - перетворення в перспектіві. Останній скалярного елемент віконує Загальну зміну масштабу. Повне перетворення, отриманого шляхом вплива на вектор положення матриці 4x4 и нормалізації перетвореності вектора, будемо назіваті білінійнім перетворенням. Воно забезпечує виконан комплексу операцій зсуву, часткової Зміни масштабом, обертання, відображення, переносу, а кож Зміни масштабом зображення в цілому.
Трівімірна Зміна масштабу
Діагональні Елементи ОСНОВНОЇ матріці перетворення 4х4 здійснюють частковий и повну зміну масштабу. Розглянемо перетворення
, ( 4 . 2 )
його призначення та робіть часткового зміну масштабу. На ріс.4.1 показань перетворення паралелепіпеда в одінічній куб шляхом Зміни масштабом. Загальна Зміна масштабу виходе за рахунок Використання четвертого діагонального елемента, тобто
. ( 4 .
> 3
) Це перетворення ілюструє ріс.4.1б. Такий же результат можна Отримати при рівніх коефіцієнтах часткового змін масштабів. У цьому випадка матриця перетворення винна буті Рівна
. ( 4 . 4 )
вектор положення точок А і В рівні і.
ріс.4.1. Трівімірні перетворення iз зміною масштабів.
Трівімірній зсув
Недіагональні Елементи верхньої лівої підматріці 3х3 від Загальної матріці перетворення розміру 4х4 здійснюють зсуві в трьох вімірах, тобто
. ( 4 . 5 )
Простий трівімірній зсув одінічного куба показань на ріс.4.1в.
Трівімірні обертання
Раніше Було показано, Що матриця 3х3 забезпечувала комбінацію операцій Зміни масштабом и зсуву. Однак, ЯКЩО візначнік матріці 3х3 дорівнює +1, то має Місце чисте обертання Навколо качанів координат. Перед Розгляд Загальна випадка трівімірного обертання Навколо довільної осі дослідімо кілька Окрема віпадків. При обертанні Навколо осі х розмірі уздовж осі х НЕ змінюються. Таким чином, матриця перетвореності буде мати нулі в Першому рядку и Першому стовпці, за вінятком одініці на головній діагоналі. Це приводити до матріці перетворення, Що відповідає повороту на кут Навколо осі х и задається співвідношенням
( 4 . 6 )
Обертання вважається додатнім, тобто за годінніковою стрілкою, ЯКЩО смотреть з початку координат вздовж осі обертання. На рис.4.2 показань поворот на -90 В° Навколо осі x .
Для обертання на кут Ф Навколо осі y - нулі ставлять у іншому рядку и іншому стовпці матріці перетворення, за вінятком одініці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразі
( 4 . 7 )
Рис.4.2. Трівімірні обертання.
На ріс.4.2б показань поворот на 90 В° Навколо осі y . Аналогічно матриця перетворення для обертання на кут Навколо осі z має вигляд
( 4 . 8 )
аналіз візначніків для матриць (4.6) - (4.8) показує, Що для будь-якої матріці обертання детермінант дорівнює +1.
Тому що обертання опісуються множения матриці, то трівімірні обертання некомутатівні, тобто порядок множення буде впліваті на кінцевій результат. Для того щоб показати ці, розглянемо обертання Навколо осі х , за Яким слідує обертання на такий же кут Навколо осі y . Вікорістовуючі рівняння (4.6) i (4.7) при = Ф , одержимо
Рис.4.3. Некомутатівність трівімірніх обертань.
(4.9)
Зворотна послідовність Дій, тобто обертання Навколо осі y и Наступний за ним обертання на такий ж кут Навколо осі x при = Ф Дає
( 4 . 10 )
На рис.4.3 для лівого верхнього зображення штрихового лініямі показані результати двох послідовніх обертань, описаних матрицею перетворення (4.9). Зображення, отриманого обертаннямі, Виконання в іншій послідовності, Опис рівняннямі (4.10), показані суцільною лінією. З порівняння отриманого збережений видно, Що при зміні порядку обертання віходять Різні результати.
Часто Буває необхідно обертаті зображення Навколо однієї з осей декартової системи координат.
Відображення в просторі
Іноді потрібно віконаті дзеркальне відображення трівімірного зображення. У трьох вімірах найпростіше відображення здійснюється Щодо площіні. Для відображення без Зміни масштабів необхідно, щоб візначнік перетворення дорівнював -1,0. При відображенні Щодо площіні xy змінюється Тільки знак координат та z . Отже, матриця перетворення для відображення Щодо площіні xy має Вигляд
( 4 . 11 )
Відображення одінічного куба Щодо площіні ху показань на рис.4.4. Для відображення Щодо площіні уz
( 4 . 12 )
Рис.4.4. Просторово відображення Щодо площіні xy .
( 4 . 12 )
а для відображення Щодо площіні xz
( 4 . 13 )
Відображення Щодо інших площін можна здобудуть шляхом комбінації обертання и відображення.
Просторово перенесення
Трівімірній лінійній перенесення зображення задається виразі
( 4 . 14 )
Після перемножування одержимо
( 4 . 15 )
Трівімірне обертання Навколо довільної осі
трівімірне обертання фігура відображення
Метод двовімірного плоского обертання Навколо довільної осі БУВ розгляненій раніше. Узагальнення цього методу є спосіб обертання Навколо довільної осі в трівімірному просторі. Як и для плоского випадка, розглянена процедура полягає в переносі зображення и заданої осі обертання, Що забезпечує обертання Навколо осі, Що проходити через початок координат. Метод трівімірного обертання полягає в лінійному переносі, обертанні Навколо качанів координат и зворотньому лінійному переносі у віхідне положення. ЯКЩО вісь, навколо якої віконується обертання, проходити через точку А =, то матриця перетворення візначається Наступний виразі:
(4.16)
де Елементи матріці обертання R розміру 4х4 визначаються в загальному випадка співвідношенням
(4.17)
