Міністерство освіти і науки РФ
Череповецький державний університет
Інститут інформаційних технологій
Кафедра прикладної математики
Дисципліна: Геометрія і алгебра
Курсова робота
на тему В«Деякі чудові криві В»
р. Череповець
2010-2011 н.р.
Зміст
Введення
1. Строфоїди
1.1 Визначення
1.2 Історичні відомості
1.3 стереометричних освіту
1.4 Особливості форми
1.5 Завдання
2. Ціссоіда Діокла
2.1 Визначення та побудова
2.2 Історичні відомості
2.3 Площа S смуги
2.4 Обсяг V тіла обертання
2.5 Завдання
3. Декартом лист
3.1 Історичні відомості
3.2 Побудова
3.3 Особливості форми
3.4 Завдання
4. Равлик Паскаля
4.1 Визначення та побудова
4.2 Історичні відомості
4.3 Особливості форми
4.4 Властивості нормалі
4.5 Побудова дотичної
4.5 Завдання
5. Лемніската Бернуллі
5.1 Визначення
5.2 Історичні відомості
5.3 Побудова
5.4 Особливості форми
5.5 Властивості нормалі
5.6 Побудова дотичної
5.7 Завдання
<p> Висновок
Використана література
Введення
В даній роботі ми розглянемо деякі чудові криві і їх особливості.
У параграфі 1 буде розглянута строфоїди, особливості її форми, стереометрическое освіту і історичні відомості.
У 2-му параграфі ми вивчимо ціссоіду Діокла і деякі формули, пов'язані з нею.
У пункті 3 дізнаємося метод побудови, особливості форми і історичні відомості про кривої, званої В«Декартом листВ».
У 4-му параграфі розглянемо равлика Паскаля. Її визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної. плоский кривої Лемніската Бернулі строфоїди
У параграфі 5 буде вивчена Лемніската Бернуллі: визначення, побудова, історичні відомості, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної.
А також за допомогою завдань дізнаємося формули кривих в прямокутній декартовій та полярній системах координат.
1. Строфоїди
1.1 Визначення.
Пряма строфоїди , або просто строфоїди , визначається так: беремо взаємно-перпендикулярні прямі AB, CD (Рис.1) і на одній з них точку A; через неї проводимо свавілля пряму AL, перетинає CD в точці P. На AL відкладаємо відрізки PM 1, , PM 2 рівні PO (O - Точка перетину AB та CD). Строфоїди (пряма) є геометричне місце точок M 1 , M 2 .
Коса строфоїди (Рис.2) будується аналогічно з тією різницею, що AB і CD перетинаються косокутних.
1.2 Історія питання
строфоїди була розглянуто (ймовірно, вперше) Ж. Роберваля в 1645 р. під ім'ям птероіди. Нинішня назва введено Міді в 1849 р.
1.3 стереометричних освіту
Уявімо собі циліндричну поверхню з віссю CD (Див. рис.1) і радіусом AO. Через точку A проведемо перпендикулярну площині креслення довільну площину K (Пряма AL - слід цієї площині). У перетині отримаємо еліпс; його фокуси M 1 , M 2 описують пряму строфоїди.
Коса строфоїди будується аналогічно з тією лише різницею, що циліндрична поверхня замінюється конічної: вісь конуса (OS на рис.2) проходить через O перпендикулярно AB; пряма UV, проходить через B паралельно CD, - Одна з утворюють. Точки M 1 , M 2 - Фокуси відповідного конічного перетину; коса строфоїди розташована на обох порожнинах конічній поверхні і проходить через вершину S останньої.
1.4 Особливості форми
Точка O - Вузлова; дотичні до гілок, які проходять через O, взаємно перпендикулярні (як для прямої, так і для косою строфоїди). Для косою строфоїди (рис.2) пряма UV служить асимптотою (при нескінченному віддаленні вниз). Крім того, UV стосується косою строфоїди в точці S, равноотстоящей від A і B.
У прямій строфоїди точка торкання S В«йде в нескінченність В»(при видаленні вгору), так що пряма UV (Див. рис.1) служить асимптотою для обох гілок.
1.5 Завдання
Написати рівняння строфоїди в прямокутній декартовій системі координат, осями якої є прямі AB і CD, а напрямок осі OX визначається напрямком осі строфоїди.
Рішення:
Нехай O - Початок координат; вісь OX спрямована по променю OB; AO = a, AOD = О±; коли строфоїди - коса, система координат - косокутних, вісь OY спрямована по променю OD:
(1)
Для прямої строфоїди рівняння (1) приводиться до вигляду
.
2. Ціссоіда Діокла
2.1 Визначення та побудова
На відрізку OA = 2a, як на діаметрі, будуємо окружність C (рис.3) і проводимо через A дотичну UV. Через O проводимо довільну пряму OF, що перетинає UV в точці F; ця пряма перетне (Вдруге) окружність C в точці E. На прямій OF від точки F у напрямку до O відкладаємо відрізок FM, рівний хорді OE.
Лінія, описувана точкою M при обертанні OF близько O, називається ціссоідой Діокла - по імені грецького вченого 2 століття до н.е., який ввів цю лінію для графічного рішення задачі про подвоєння куба.
Особливості форми. Ціссоіда симетрична щодо OA, проходить через точки B, D і має асимптоти UV (X = 2a); O - точка повернення (радіус кривизни RO = O).
Побудова дотичної. Щоб побудувати дотичну до ціссоіде в її точці M, проводимо MPOM. Нехай Q, P - Точки перетину MP з прямими OX, OY. Від точки P на продовженні відрізка QP відкладаємо відрізок PK = PQ. Будуємо KNMO і ONQP. Точку N перетину KN і ON з'єднуємо з M. Пряма MN - нормаль до ціссоіде. Шукана дотична MT перпендикулярна MN.
2.2 Історичні відомості
Діокл визначав ціссоіду за допомогою іншого побудови. Він проводив діаметр BD, перпендикулярний OA; точка M виходила в перетині хорди OE з прямою GG М• BD, проведеної через точку G, симетричну з E відносно BD. Тому лінія Діокла розташовувалася цілком усередині кола C. Вона складалася з дуг OB і OD. Якщо замкнути лінію BOD ​​півколом BAD, описаної точкою E, виходить фігура, що нагадує листок плюща. Звідси назва В«ціссоідаВ».
Приблизно в 1640 р. Роберваля, а пізніше Р. де Слюз помітили, що ціссоіда необмежено продовжується і за межі кола, якщо точка E описує та іншу півколо BOD; тоді M лежить на продовженні хорди OE. Однак найменування В«Ціссоіда СлюзВ», запропоноване Гюйгенсом, не утвердилося в літературі.
2.3 Площа S смуги
укладеної між ціссоідой і її асимптотою (ця смуга тягнеться в нескінченність), конечна; вона втричі більше площі виробляючого круга C:
.
2.4 Обсяг V тіла обертання
вищезгаданої смуги близько асимптоти UV дорівнює обсягу VМ• тіла обертання круга C близько тієї ж осі (Слюз):
.
При обертанні тієї ж смуги близько осі симетрії виходить тіло нескінченного обсягу.
2.5 Завдання
Дана ціссоіда Діокла з полюсом в точці O, віссю OA і параметром 2a. Прийнявши точку O за полюс, а вісь кривої за вісь полярної системи, вивести рівняння кривої в полярних координатах. Записати рівняння кривої в прямокутній декартовій системі координат.
Рішення:
Нехай O - Початок координат, OX - вісь абсцис. Тоді рівняння в прямокутній системі координат:
.
Як...
