Дипломна робота
По темі: "Оцінка периметра багатокутника заданого діаметра "
Зміст
Введення
Глава 1. Загальні відомості про завдання на екстремум. Приклади екстремальних задач
1. Загальні властивості опуклих фігур
1.1 Завдання
1.2 Рішення
2. Изопериметрическая завдання
2.1 Завдання
2.2 Рішення
3. Завдання на максимум і мінімум
3.1 Завдання
3.2 Рішення
Глава 2. Оцінка периметра п'ятикутника одиничного діаметра
1. Доказ рівності чотирьох діагоналей п'ятикутника одиниці
2. Пошук оптимальної п'ятикутника
Висновок
Бібліографія
Введення
У житті постійно доводитися стикатися з необхідністю прийняти найкраще можливе (Оптимальне) рішення. При цьому часто трапляється так, що корисно вдатися до математиці.
Обидва поняття максимум і мінімум об'єднуються одним терміном "екстремум", що по латині означає "крайнє". Завдання відшукання максимуму і мінімуму називаються екстремальними задачами.
Екстремальними завданнями людина цікавився з античних часів. Вже в Стародавній Греції знали про екстремальних властивостях кола і кулі: серед плоских фігур з однаковим периметром найбільшу площу має коло (рішення изопериметрической завдання); куля має максимальний обсяг серед просторових фігур з однаковою площею поверхні (рішення ізопіфанной завдання). [4, 4]
Історія зберегла легенду про наступну найдавнішою екстремальної задачі, відомої як задача Дідони: вказати форму межі ділянки, що має задану довжину, при якій площа ділянки максимальна. Вважається, що історія цієї задачі почалася в IX столітті до н.е., коли, як написав у своїй поемі "Енеїда" давньоримський поет Вергілій, царівну Дидоне довелося вирішувати ізопериметричні задачі. Якщо знати екстремальне властивість кола, то рішення виходить негайно: границя ділянки представляє частину окружності, що має задану довжину. Згідно з легендою Дідона впоралася з поставленим завданням і на місці відгородженого ділянки заснувала місто Карфаген. Кажуть, що стара фортеця Карфагена дійсно мала форму кола. [3, 29]
Екстремальними завданнями займалися багато античні вчені (Евклід, Архімед, Аристотель та ін.) В засадах Евкліда - першої наукової монографії і першому навчальному посібнику в історії людства, у праці вийшов в IV столітті до н.е. мається завдання на максимум. У сучасній редакції вона виглядає так: у даний трикутник АВС вписати паралелограм ADEF , найбільшої площі. Неважко показати, що вирішенням цього завдання є паралелограм, вершини D, E, F якого ділять відповідні сторони трикутника навпіл. [4, 30]
Відома також задача античного математика Герона Олександрійського, з якою ми знайомимося ще в школі: дано дві точки А і В по одну сторону від прямої l . Потрібно знайти на прямій l таку точку D , що б сума відстаней від А до D і від В до D була найменшою. Книга, де була викладена ця задача, називається "Про дзеркалах". Час написання цієї книги невідомо, але більшість дослідників вважають, що вона написана в I столітті до н.е. При цьому сама праця Герона не зберігся, і про нього відомо з коментарів до нього написаних пізніше.
Після загибелі античної цивілізації наукове життя в Європі стала відроджуватися тільки в XV столітті. Екстремальні задачі опинилися серед тих, якими цікавилися кращі уми того часу. [4, 7]
Завдання на екстремуми актуальні і в даний час, так як є багато невирішених завдань на найбільше і найменше значення деяких величин, пов'язаних з опуклою фігурою. Так, наприклад, досі не вирішені наступні завдання: знайти мінімальну площу S опуклою фігури, якщо відомий діаметр D і ширина цієї фігури, причому; знайти мінімальну площу опуклою фігури, якщо відома ширина і периметр фігури. [8, 89]
Основна мета даної роботи полягає в розгляді різних геометричних задач на максимум і мінімум, а також в детальному розборі і доведенні теореми про п'ятикутнику найбільшого периметра одиничного діаметра.
Дана робота містить дві глави. Глава 1 складається з трьох параграфів. Кожен параграф побудований наступним чином: спочатку наводяться основні теоретичні відомості, а потім розглядаються завдання з подальшим їх вирішенням.
В 1 розглянуті основні властивості опуклих фігур. Даний параграф має вступний характер і в ньому зосереджені основні визначення, використовувані надалі, і наведені найпростіші задачі, що ілюструють ці визначення. Вивчення представлених завдань, дозволяє більш детально ознайомитися з визначеннями опуклою фігури, опуклою кривою, опорної прямої опуклою фігури, звичайної і кутовий точок опуклою кривою, довжини опуклою кривою і площі опуклою фігури.
2 присвячений одній знаменитій задачі, що грає важливу роль у багатьох розділах математики та фізики, а саме так званої изопериметрической завданню:
Серед всіх плоских фігур даного периметра L знайдіть ту, яка має максимальну площу.
Як і перші два параграфи 3 містить ряд теоретичних відомостей стосуються вписаною, описаної окружності опуклою фігури; центру опуклою фігури; особливу увагу приділено сімметрізаціі опуклою фігури, а також представлені деякі задачі на найбільші і найменші значення чисельних величин, пов'язаних з опуклими фігурами. опуклий фігура изопериметрической екстремум теорема
Основний зміст роботи складає другий розділ, яка складається з двох параграфів. Дана глава присвячена вирішенню однієї красивої завдання, а саме відшуканню п'ятикутника одиничного діаметра, що має найбільший периметр. Для вирішення цього завдання доводиться ряд теорем.
В 1 встановивши, що діаметр багатокутника збігається або з однієї зі сторін, або з однією з діагоналей багатокутника (теорема 2.1.1) показується, що в п'ятикутнику найбільшого периметра одиничного діаметра, або в оптимальному п'ятикутнику, всі сторони менше 1 (теорема 2.1.2). При цьому доказ даної теореми спирається на лему про те, що сума відстаней від точки дуги кола до її решт приймає найбільше значення, коли ця точка ділить дугу навпіл. Потім в результаті послідовного докази двох теорем (теорема 2.1.3 і теорема 2.1.4) встановлюється, що в оптимальному п'ятикутнику, по крайней мірою, чотири діагоналі рівні 1.
У 2 робиться висновок про те, що оптимальним п'ятикутником є ​​правильний п'ятикутник (теорема 2.2.1).
Було відмічено, що в випадку опуклого чотирикутника оптимальним є не квадрат. [2, 269]
Глава 1. Загальні відомості про завдання на екстремум. Приклади екстремальних задач
1. Загальні властивості опуклих фігур
Визначення 1.1.1. Плоска фігура називається опуклою , якщо вона цілком містить прямолінійний відрізок, що з'єднує будь-які дві приналежні фігурі точки.
Рис. 1.1.1
Так, на рис. 1.1.1 фігури а), б), в) опуклі фігури, а фігура на малюнку 1.1.1 г) не опукла. Коло і трикутник є опуклими фігурами, чотирикутник ж може бути як опуклим, так і неопуклого в залежності від того, чи перетинаються його діагоналі всередині або поза чотирикутника (рис. 1.1.2 а, б). [1, 38]
Рис. 1.1.2
Визначення 1.1.2. Перетином двох (або декількох) фігур називається фігура, яка складається з усіх точок, що належать обом (або всім, якщо їх декілька) фігурам.
Визначення 1.1.3. Фігура називається обмеженою , якщо вона цілком поміщається всередині деякої окружності. [8, 13]
Наприклад , всякий паралелограм, трикутник, коло, а також всі фігури, зображ...
