Дипломна робота
По темі
Структура деяких числових множин
Введення
У 1870-х роках німецький математик Георг Кантор (1845-1918) створив теорію множин - виключно потужне і важливе математичне вчення, яке справило величезний вплив на розвиток сучасної математики. Теорія множин не тільки з'явилася фундаментом цілого ряду нових математичних дисциплін, але і вплинула на розуміння самого предмета математики. Крім іншого в канторовской теорії множин вперше були розвинені конструктивні підходи до аналізу проблеми нескінченності, більше двох тисяч років що була лише предметом філологічних вправ філософів.
Теорія множин вивчає загальні властивості множин, переважно нескінченних. Поняття множини найпростіше математичне поняття, воно не піддається визначенню, бо визначити поняття - значить знайти таке родове поняття, в яке дане поняття входить в якості виду, але безліч - це, мабуть, саме широке поняття математики і логіки.
Однак Кантор спробував визначити дане поняття так: В«Під безліччю, - роз'яснював Георг Кантор, - я розумію взагалі всяке багато чого, яке можна мислити як єдине, тобто яку сукупність певних елементів, яка може бути пов'язана в одне ціле за допомогою деякого закону ... В» 1 . Але ця концепція призвела до парадоксів, зокрема, до парадоксу Рассела, і дана теорія стала називатися наївною теорією множин.
Парадокс Рассела - відкрита в 1903 році Бертраном Расселом і пізніше незалежно Перевідкриття Ернестом Цермело теоретико-множинна антиномія, що демонструє суперечливість наївної теорії множин Г. Кантора. Антиномія Рассела формулюється наступним чином: Нехай K - множина всіх множин, які не містять себе в якості свого елемента. Чи містить K самого себе в якості елемента? Якщо так, то, за визначенням K, воно не повинно бути елементом K - протиріччя. Якщо ні - то, за визначенням K, воно має бути елементом множин, які включаються в К - знову протиріччя.
Після цього теорія множин була аксіоматизована. На сьогоднішній день безліч визначається як модель, яка задовольняє ряду аксіом (так звана аксіоматика Цермело - Френкеля).
Множини можуть складатися з самих різних елементів. Саме цим пояснюється надзвичайна широта теорії множин і її приложимость до самих різних областям знання.
Для математики особливо важливу роль відіграють множини, складені з математичних об'єктів, в Зокрема числові множини, про які й піде мова в даній роботі.
При написанні цієї дипломної роботи ми задавалися метою - вивчити вихідні поняття і найважливіші теореми теорії множин, а також на підставі даного матеріалу, вирішити ряд нестандартних завдань щодо виявлення структури деяких числових множин.
Дана робота складається з трьох розділів: В«Потужності нескінченних множин В»,В« Точкові безлічі В»,В« Рішення деяких задач В».
У першому розділі наводиться короткий історичний опис становлення теорії множетсв, визначаються основні поняття, такі як потужність, рахункове безліч, континуальної безліч, з якими потрібно ознайомитися для подальшої роботи. Встановлюються зв'язки між ними і доводяться основні теореми про потужностях нескінченних множин. В кінці глави розглядається важлива теорема Шредера - Бернштейна, що дозволяє проводити порівняння потужностей нескінченних множин.
У другому розділі розглядаються тільки числові множини, тобто безлічі точок числової прямий. Вводяться основні поняття, такі як замкнутий безліч, відкрите безліч, вчинене безліч, розглядається структура таких множин, формулюються і доказуються основні теореми, на підставі яких, у підсумку, робиться важливий висновок про потужності замкнутого безлічі.
Третя глава присвячена детальному і детальному вирішенню низки цікавих завдань (теорем) за визначенням структури деяких нескінченних числових множин. Також наведена задача, рішення якої на перший погляд може здатися вірним, але при докладному аналізі представленого доказу можна помітити, що в рішенні міститься помилкове припущення, в результаті чого даний доказ втрачає свою силу. Суворе рішення цієї задачі також наведено в роботі.
Глава 1. Потужності нескінченних множин
В§ 1. До історії становлення теорії множин
З самого зародження математичної науки як самостійної галузі знання і на протязі більше ніж двох тисячоліть математики займалися пошуками істини і добилися на цьому шляху видатних успіхів. Крок за кроком стародавні греки, а слідом за ними і представники інших цивілізацій відкривали математичні закони, вважаючи, що план, по якому побудована всесвіт, має математичний характер. Неозоре безліч теорем про числа і фігури, здавалося, служило невичерпним джерелом абсолютного знання, яке ніколи й ніким не може бути розхитані [4; 19]. Однак у міру розвитку математики зв'язок з реальним світом стає все менше відчутною, постає питання про логічному обгрунтуванні математики.
В кінці 19 століття на передній план виступає проблема доказу несуперечності математики. Рух за аксіоматизації математики у цей період змусило математиків зрозуміти, наскільки глибока прірва відділяє математику від реального світу. Кожна аксіоматична система містить невизначені поняття, властивості яких задаються тільки аксіомами. Новою теорією, яка призвела до суперечностей і відкрила багатьом очі на суперечності, що існували в більш старих областях математики, була теорія нескінченних множин. Перші кроки у вивченні теорії числових множин пов'язані з ім'ям Георг Кантор (1845 - 1918). У 1873 р. Кантор поставив завдання класифікувати нескінченні множини. Введені Кантором визначення дозволяли порівнювати два нескінченних безлічі по потужності. Основна ідея Кантора зводилася до встановлення взаимнооднозначное відповідність між множинами.
Ідея взаимнооднозначное відповідності привела Кантора до несподіваного результату: він показав, що можна встановити взаимнооднозначное відповідність між точками прямої і точками площині. Дотримуючись принципу взаимнооднозначное відповідності, Кантор встановив для нескінченних множин відношення еквівалентності, або рівності (В«РавномощностиВ» двох множин). Безліч натуральних чисел і множини, які можна поставити під взаимнооднозначное відповідність з цим безліччю, містять однакове число елементів, яке Кантор позначив символом. Так як безліч всіх дійсних чисел більше за потужністю множини натуральних чисел, Кантор позначив його потужність новим символом - с. Виникло питання - чи існує безліч проміжної потужності (твердження про те, що такого безлічі не існує, носить назву континуум гіпотези). У наслідку було доведено, що в системі аксіом Цермело - Френкеля твердження про існування проміжної потужності не може бути ні доведено, ні спростовано.
Коли Кантор в 70-х роках 19 століття приступив до створення теорії нескінченних множин і ще багато років потому, ця теорія була на периферії математичної науки. Але до початку 20 століття канторовская теорія множин знайшла широке застосування в багатьох областях математики. Кантор і Ріхард Дедекинда розуміли, наскільки важлива теорія множин для обгрунтування теорії цілих чисел, для аналізу понять лінії і розмірності і навіть для обгрунтувань математики. Інші математики, зокрема Еміль Борель і Анрі Леон Лебег, до того часу вже працювали над узагальненням інтеграла, в основу якого була покладена канторовская теорія множин. Тому, коли сам Кантор виявив, що його теорія множин пов'язана з певними труднощами, це було далеко важливим подією. Кантор дав кілька словесних визначень множини, але ці визначення не відрізнялися строгістю, і теорію множин в тому вигляді, як її виклав Кантор, нерідко називають наївною. На думку багатьох учених, ретельний підбір аксіоматичної основи повинен був позбавити теорію множин від багатьох проблем і протиріч [8; 135].
Приступаючи до побудови математики на основі теорії множин, можна вибрати ту або іншу з можливих вихідни...
