Реферат Функції Бесселя

>

Введення

циліндричні функціями називаються рішення лінійного диференціального рівняння другого порядку

, (1)

де - комплексне змінне,

- параметр, який може приймати будь речові або комплексні значення.

Термін В«Циліндрові функціїВ» зобов'язаний своїм походженням тій обставині, що рівняння (1) зустрічається при розгляді крайових задач теорії потенціалу для циліндричної області.

Спеціальні класи циліндричних функцій відомі в літературі під назвою функцій Бесселя, і іноді це найменування присвоюється всьому класу циліндричних функцій.

Добре розроблена теорія розглянутих функцій, наявність докладних таблиць і широка область застосувань служать достатньою підставою для того, щоб віднести циліндричні функції до числа найбільш важливих спеціальних функцій.

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження рішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при вирішенні багатьох завдань про поширення хвиль, статичних потенціалах і т. п., наприклад:

1) електромагнітні хвилі у циліндричному хвилеводі;

2) теплопровідність в циліндричних об'єктах;

3) форми коливання тонкої круглої мембрани;

4) швидкість частинок в циліндрі, заповненому рідиною і обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і в рішенні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Циліндричні функції Бесселя є найпоширенішими з усіх спеціальних функцій. Вони мають численні додатки у всіх природничих і технічних науках (Особливо в астрономії, механіці і фізиці). У ряді задач математичної фізики зустрічаються циліндричні функції, в яких аргумент або індекс (іноді і той та іншої) приймають комплексні значення. Для чисельного рішення таких задач необхідно розробити алгоритми, що дозволяють обчислювати функції Бесселя з високою точністю.

Мета курсової роботи: вивчення функцій Бесселя і застосування їх властивостей у вирішенні диференціальних рівнянь.

Завдання:

1) Вивчити рівняння Бесселя і модифіковане рівняння Бесселя.

2) Розглянути основні властивості функцій Бесселя, асимптотичні представлення.

3) Розв'язати диференціальне рівняння з використанням функції Бесселя.

1 Функції Бесселя з цілим позитивним значком

Для розгляду багатьох проблем, пов'язаних із застосуванням циліндричних функцій, достатньо обмежитися вивченням спеціального класу цих функцій, який відповідає випадку, коли параметр в рівнянні (1) дорівнює нулю або цілого позитивного числа.

Дослідження даного класу носить більш елементарний характер, ніж теорія, яка відноситься до довільним значенням, і може служити хорошим введенням в цю загальну теорію.

Покажемо, що одним з рішень рівняння

0, 1, 2, ..., (1.1)

є функція Бесселя першого роду порядку, яка для будь-яких значень визначається як сума ряду

(1.2)

При допомозі ознаки Даламбера легко переконатися, що розглянутий ряд сходиться на всій площині комплексного змінного і, отже, являє цілу функцію від.

Якщо позначити ліву частину рівняння (1.1) через і ввести скорочений запис коефіцієнтів ряду (1.2), поклавши

то в Внаслідок підстановки одержимо

звідки слід так як вираз у фігурних дужках дорівнює нулю. Таким чином, функція задовольняє рівнянню (1.1), тобто являє собою циліндричну функцію.

Найпростішими функціями розглянутого класу є функції Бесселя порядку нуль і одиниця:

(1.3)

Покажемо, що функції Бесселя інших порядків можуть бути виражені через ці дві функції. Для докази припустимо, що а - ціле позитивне число, помножимо ряд (1.2) на і продиференціюємо по. Ми отримаємо тоді

(1.4)

Аналогічним чином, множачи ряд на знаходимо

(1.5)

Виконавши диференціювання в рівностях (1.4 - 1.1) і розділивши на множник, приходимо до формулами:

(1.6)

звідки безпосередньо випливає:

(1.7)

(1.8)

Отримані формули відомі під назвою рекурентних співвідношень для функцій Бесселя.

Перше з співвідношень дає можливість виразити функцію довільного порядку через функції порядків нуль і одиниця, що істотним чином скорочує роботу по складання таблиць функцій Бесселя.

Друге співвідношення дозволяє представити похідні від функцій Бесселя через функції Бесселя. Для це співвідношення повинне бути замінене формулою

(1.9)

безпосередньо витікає з визначення даних функцій.

Функції Бесселя першого роду просто пов'язані з коефіцієнтами розкладання функції в ряд Лорана [1]):

(1.10)

Коефіцієнти цього розкладання можуть бути обчислені шляхом перемноження степеневих рядів:

та об'єднання членів, що містять однакові ступеня. Виконавши це, отримаємо:

(1.11)

звідки слід, що аналізованих розкладання може бути записано у вигляді

(1.12)

Функція називається виробляє функцією для функцій Бесселя з цілим значком; знайдене співвідношення (1.12) відіграє важливу роль у теорії цих функцій.

Для отримання загального інтеграла рівняння (1.1), що дає вираз довільної циліндричної функції з цілим значком, необхідно побудувати друге рішення рівняння, лінійно незалежне с. В якості такого рішення може бути взята функція Бесселя другого роду, виходячи з визначення якої неважко отримати для аналітичний вираз у вигляді ряду

(1.13)

де

(- постійна Ейлера) і, у разі, першу з сум належить покласти рівною нулю.

Функція регулярна в площині з розрізом. Істотна особливість розглянутого рішення полягає в тому, що воно звертається в нескінченність, коли. Загальна вираз циліндричної функції для уявляє лінійну комбінацію побудованих рішень

(1.14)

де і - довільні постійні,

2 Функції Бесселя з довільним значком

Бессель циліндрична функція

Функції Бесселя, розглянуті в пункті 1, складають окремий випадок циліндричних функцій більш загального вигляду, відомих під назвою функцій Бесселя першого роду з довільним значком. Щоб визначити ці функції, розглянемо ряд

де - комплексне змінне, що належить площині з розрізом

- параметр, який може приймати будь речові або комплексні значення.

Легко бачити, що даний ряд збігається при будь-яких і, причому в області, (- довільно великі фіксовані числа) з...