Сумський держаний педагогічний університет імені А. С. Макаренка
Кафедра математики
Курсова робота
з алгебри
на тему: В«ЗАСТОСУВАННЯ симетрично МНОГОЧЛЕНІВВ»
Студенка 3 курсу 432 групи
напряму підготовкі 0402 фізико-математичних наук
спеціальності 6.040203 математика
Рудченко Олені Володімірівні
Керівник викладач кафедри математики
Друшляк Марина Григорівна
м. Сумі - 2010 р.
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ I. Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ ПРО СІМЕТРІЧНІ многочленами ТА ЇХ Властивості
1.1 Загальні Поняття про симетрично многочлен
1.2 Властивості симетрично многочленів
РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ Симетрично МНОГОЧЛЕНІВ
2.1 Розв'язування систем рівнянь
2.2 Доведення тотожності
2.3 Звільнення від ірраціональності
2.4 вилучення коренів
ВИСНОВКИ
Список використаних джерел
ВСТУП
Важливе Місце в курсі алгебри посідають сіметрічні многочленами та, зокрема, застосування симетрично многочленів при розв'язуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожня, Звільнення від ірраціональності у дробом ТОЩО. Цімі харчування Займан Багато вчених, зокрема, Франсуа Вієт.
Франсуа Вієт розробив ряд Важливим харчування Теорії рівнянь 1 - 4 степенів. ВІН сформулював и довів кілька теорем про взаємозв'язкі Між корінними и коефіцієнтамі рівнянь, зокрема, й теорему про зведене квадратне рівняння (Теорема Вієта). На сьогоднішній день теорема Вієта є необхідною и Важливим Частина шкільної прогр.
Дана курсова робота Складається з вступити, двох розділів, вісновків и списком використаних джерел. Перший Розділ В«Теоретичні положення про будинок сіметрічні многочленами та їх Властивості В»Складається з двох параграфів. Смороду прісвячені Загальна поняттям та основна властівостям симетрично многочленів. Другий Розділ В«Застосування симетрично многочленівВ» містіть в собі Приклади застосування симетрично многочленів на практіці. Розділ Складається з чотірьох параграфів. Смороду прісвячені застосування симетрично многочленів до розв'язуванні систем рівнянь, доведення тотожності, Звільнення від ірраціональності у дріб та вилучення коренів.
властівість рівняння симетрично многочлен
РОЗДІЛ I. Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ ПРО СІМЕТРІЧНІ многочленами ТА ЇХ Властивості
1.1 Загальні Поняття про симетрично многочлен
Серед найбільш важка Завдання на розв'язання систем рівнянь віщіх степенів є наступні:
Усі ці системи мают одну Загальну властівість - ліві частина рівнянь є многочленами, у які x и y входять однаково способом.
Означення. Многочлен від x и y назівають симетрично, ЯКЩО ВІН НЕ змінюється при заміні x на y, та y на x.
Означення. симетрично многочлен - многочлен від n змінніх F (x 1 , x 2 , ..., x n ), Що не змінюється при Всіх перестановках змінніх. Тобто многочлен F є R [x 1 , x 2 , ..., x n ] от n змінніх над комутатівнім кільцем R є симетрично Якщо для довільної перестановки.
Справедлива рівність: F ( x 1 , x 2 , ..., x n )
Сіметрічні многочленами утворюють підалгебру R-алгебри R [ x 1 , x 2 , ..., X n ] многочленів від n змінніх над кільцем R.
Многочлен x 2 y + xy 2 - симетрично. Навпаки, многочлен x 3 - 3y 2 не є симетрично: при заміні x на y , а y на x ВІН перетворюється на многочлен y 3 - 3x 2 , Який НЕ збігається з Первин.
Пріведемо найважлівіші Приклади симетрично многочленів. Як відомо з арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:
x + y = y + x
для будь-яких чисел x и y . Ця рівність показує, Що многочлен x + y є симетрично. Так само із Законом комутатівності множення xy = yx
вітікає, Що добуток xy є симетрично многочленом. Сіметрічні многочленами x + y и xy є найпростішімі. Їх назівають елементарних симетрично многочленами від x и y . Для них вікорістовують спеціальні позначені:
Коженна многочлен від основних симетрично, є симетрично.
Окрім І, часто зустрічаються так звані степеневі суми, тобто многочленами x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ,. . ., X n + y n ,. . . прийнятя означать многочлен x n + y n через s n . Таким чином,
. (1)
Ця формула дозволяє послідовно знаходіті S n через і. Так за допомог цієї формули можна послідовно знайте:
;
и т. д. У табліці 1 Зведені виразі степеневих сум s 1 , s 2 ,. . ., S 10 через и ці виразі будуть нам Корисні при розв'язанні задач.
Таблиця 1 вираженість степеневих сум s n = x n + y n через
1.2 Властивості симетрично многочленів
Встановімо тепер деякі елементарні Властивості довільніх симетрично многочленів.
1. Сума, різніця и добуток симетрично многочленів над Деяк полем Р є симетрично многочленами над ЦІМ полем.
Це твердження очевидна.
Наслідок.
множини Всіх симетрично многочленів над полем Р утворює область цілісності з одиницею відносно Дій додавання и множення. Зрозуміло, Що це кільце є підкільцем Всіх многочленів над полем Р.
2. ЯКЩО симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 , ..., X n ) містіть Деяк член
(2)
то ВІН містіть и член, утворення з (2) внаслідок будь-якої перестановки показніків .
доведення. Оскількі, Як відомо, від довільної перестановки показніків до всякої іншої перестановки ціх показніків можна перейти за допомог скінченного числа транспозіцій, то Досить показати, Що при транспозіції довільніх двох показніків степенів у члені (2) мі дістаємо Знову Деяк член симетрично многочлена
f ( x 1 , x 2 , ..., x n )
Віконуючі, Наприклад, транспозіцію показніків, та, матімемо член
(3)
за окреслений симетрично многочлена
f (, , ..., x n ) = f (, , ..., x n )
Альо другий з ціх многочленів винен містіті член (3), бо Його дістаємо з члена (2) заміною на и навпаки. Тому внаслідок єдіності канонічної форми I Сейчас многочлен винен містіті член (3).
Наслідок. ЯКЩО
(4)
є вищий член симетрично многочлена, то .
Доведення.Справді, пріпустімо супротивне, тобто Що при якомусь. На підставі Властивості 2 Сейчас многочлен разом з членом (4) містіть и член
(5)
Альо з Умови віпліває, Що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не Може буті віщім у многочлені. Ця суперечність доводити наше твердження.
такоже можна сформулювати таку Важливим властівість симетрично многочленів, Якові назівають основна теорема.
Теорема1 (Основна теорема Теорії симетрично многочленів): Всякий симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 ,...
