інтегральні характеристики векторних полів
1. Діференціальні Операції іншого порядку
Нехай в області задані скалярнийполе и векторне поле, причому функції мают в області неперервні частінні похідні іншого порядку. Тоді и є діференційовнімі векторні полями, а - діференційовнім скалярного полем.
До векторних полів и можна застосуваті Операції обчислення дівергенції и ротора, а до скалярного поля - операцію обчислення градієнта. Таким чином, отрімуємо повторні Операції:
.
Операцію назівають оператором Лапласа и позначають кож символом:
.
З допомог оператора Гамільтона оператор Лапласа запісується у вігляді
.
Враховуючі, Що
,
дістаємо
.
Функція, Яки задовольняє в деякій області рівняння Лапласа, назівається гармонічною в Цій області. Наприклад, лінійна функція є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначімо, зокрема, Що Потенціал електричного поля точкових заряду або поля тяжіння точкової Масі, Який має Вигляд, при задовольняє рівняння Лапласа:
(потенціальне Векторне поле є безвіхровім) i
(векторне поле є соленоїдальнім).
1. Дві Інші повторні Операції и пов'язані співвідношенням
, (1)
де - вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій.
2. Розкладання векторного поля на суму потенціального и соленоїдального полів
Довільне неперервно діференційовне векторне поле Може буті зображено у вігляді
,
(2)
де - потенціальне поле, - соленоїдальне поле.
Дійсно, за Означення потенціальне векторне поле є градієнтом Деяк скалярного поля:. Тому для вектора Із рівності (2) маємо
. (3)
Щоб векторне поле Було соленоїдальнім, воно має задовольняти умів, звідсі, враховуючі рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для скалярного потенціала поля отрімуємо рівняння
, (4)
де - відома функція даного поля.
Отже, ЯКЩО функція є Розв'язка рівняння (4), то, поклали,, отрімаємо зображення поля у вігляді (2), де - потенціальне поле, - соленоїдальне поле.
Рівняння (2) - неоднорідне рівняння в ЧАСТИНА похідніх іншого порядку його призначення та назівається рівнянням Пуассона:
.
Відзначімо, Що це рівняння має (нескінченну) множини розв'язків, тому зображення поля у вігляді (2) НЕ є єдінім.
2. Потік векторного поля
Розглянемо Векторне поле, визначене в просторовій області, и Деяк кусково-гладку орієнтовну поверхню. Нехай - поле одінічніх нормалей на обраній стороні поверхні.
Як Було відзначено в п. 4.2, Поверхнево інтеграл
(5)
назівається потоком векторного поля через поверхню в сторону, Яки візначається вектором (кажуть кож В«Потік через обраних сторону поверхні В»).
ЯКЩО взяти іншу сторону поверхні (Изменить орієнтацію), то вектор змініть напр на протилежних; тому скалярний добуток, а отже, и Потік (Поверхнево інтеграл (5)) змініть знак.
ЯКЩО - швідкість рухомої Рідини, то є кількістю (об'ємом) Рідини, Яки протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина назівається у фізіці (гідродінаміці) потоком Рідини через поверхню. Того и у випадка довільного векторного поля інтеграл (5) назівається потоком векторного поля через поверхню.
Розглянемо Електрична поле точковая заряду, Який містіться в точці . Знайдемо Потік векторного поля через зовнішню сторону сфери радіуса з центром у точці. Нехай (- точка на сфері); тоді. Тому
,
де - діелектрічна пронікність середовища,.
ЯКЩО в сістемі координат, а, то виразі (5) для потоку векторного поля можна запісаті у вігляді
. (6)
Коженна доданок у правій частіні рівності (6) поклади від вибор системи координат, протікають їх торба, тобто Потік, очевидно, не поклади від вибор системи координат.
3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області Визначіть Векторне поле; - Замкніть поверхні, Яки обмежує область; - одінічній вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці.
Нехай, Далі, та їхні частінні похідні неперервні в області. Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є, а Поверхнево інтеграл - Потік векторного поля через поверхню. Тому формулу (7) можна запісаті у векторній формі:
. (8)
Фізичний Зміст формули Остроградського-Гаусса: Потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією Поверхня, от дівергенції векторного поля. Щоб Потік БУВ відміннім від нуля, всередіні області мают буті джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса віпліває, Що тоді є відмінною від нуля. Таким чином, характеризує джерела поля. Само Векторне поле Як бі розходів від джерел. Звідсі и походити назва В«РозбіжністьВ» або В«дівергенціяВ».
4. Властивості соленоїдального поля
Як відомо, Векторне поле, його призначення та задовольняє в області умів, назівається соленоїдальнім в Цій області. Нехай область є об'ємно однозв'язною. Це означає, ЩО, ЯКЩО кусково-гладка замкніть Поверхня лежить в області, то и область, Яки обмежує поверхню, ЦІЛКОМ належиться області. Прикладами об'ємно однозв'язніх областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначімо, Що тор не є поверхнево однозв'язною області. Область, Яка знаходится Між двома сферами, НЕ є об'ємно однозв'язною (альо є поверхнево однозв'язною).
Із формули Остроградського-Гаусса віпліває, Що соленоїдальне поле в взаємно однозв'язній області має таку властівість: Потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, Яка знаходится в Цій області, дорівнює нулю.
Відзначімо, ЩО, ЯКЩО область не є об'ємно однозв'язною, то Потік соленоїдального (в Цій області) поля через замкнену поверхню, Яка знаходится в області, Може буті відміннім від нуля. Так електричних поле точковая заряду, Який містіться в точці, є соленоїдальнім в кулі з викинути центром (при).
Слово В«СоленоїдальнеВ» означає В«трубастеВ». Для соленоїдального поля є справедливим закон Збереження інтенсівності векторної трубки. З'ясуємо суть цього закону.
Нехай - соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок В«векторної трубкиВ», тобто область, Обмеження двома перерізамі и та бічні поверхні, Яки Складається Із векторної ліній (рис. 1). Застосуємо до Такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскількі в соленоїдальному полі, то Потік векторного поля через поверхню області дорівнює нулю: (- одінічній вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні маємо, тому.
Отже,
.
Рисунок 1 - Відрізок В«векторної трубкиВ»
Змінімо на перерізі напр нормалі на протилежних (- внутрішня нормаль до). Тоді отрімаємо
,
де обидвоє потоки через перерізі и обчислюють у напрямі векторних ліній.
Таким чином, у соленоїдальному (трубчасто) векторному полі Потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це и є закон Збереження інтенсівності Збереження векторної трубки.
5. Інваріантне Означення дівергенції
Нехай в області, обмеженій Поверхня, Визначіть векторне поле. Запішемо формулу (8) для векторного поля в області. Застосовуючі до лівої Частина цієї формули теорему про Середнє, отрімаємо
або
,
де - об'єм області, а - Деяка точка області.
Зафіксуємо точку и стягуватімемо область до точки так, щоб Залишани внутрішньою точкою області. Тоді, а прямуватіме до . Внаслідок неперервності Значення прямуватіме до. Таким чином, отрімуємо
. (9) <...
