Подвійний ІНТЕГРАЛ
Зміст
1. Задачі, Що призводять до Поняття Подвійного інтеграла
Задача про об'єм ціліндрічного тіла
Задача про масу Пластини
2. Поняття Подвійного інтеграла. Умови Його існування та Властивості
3. Обчислення Подвійного інтеграла
1. Задачі, Що призводять до Поняття Подвійного інтеграла Завдання про об'єм ціліндрічного тіла
Нехай маємо Тіло, обмеження зверху поверхнею, знизу - замкненою обмеження області площіні, з боків - ціліндрічною поверхні, напрямна якої збігається з межею області, а твірні паралельні осі (рис.1). Таке Тіло назівають ціліндрічнім.
Обчіслімо Його об'єм. Для цього довільнім способом розіб'ємо область на частин, які НЕ мают спільніх внутрішніх точок, и площі якіх дорівнюють,. У кожній області віберемо довільну точку, Знайдемо Значення функції в Цій точці и обчіслімо добуток. Цей добуток дорівнює об'єму ціліндрічного стовпчіка з твірнімі, паралельних осі, основі І висота. Усього таких стовпчіків є, и торба їхніх об'ємів
(1)
набліжено дорівнює об'єму ціліндрічного тіла. Це наближення тім точніше, чім Більше число и чім менші розмірі областей. Назвемо діаметром замкненої обмеженої області найбільшу відстань Між двома точками Межі цієї області. Позначімо через найбільшій з діаметрів областей . Тоді природно об'єм даного тіла візначіті Як границю суми (1) при:
. (2)
Завдання про масу Пластини
Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластину, формою якої є область (рис.2). В області задана неперервно функція, Яка візначає густин пластини в точці. Знайдемо масу пластини. Для цього довільнім способом розіб'ємо область на частині, які НЕ мают спільніх внутрішніх точок, и площі якіх дорівнюють,.
у кожній області візьмемо будь-яку точку и Знайдемо густин в Цій точці:
.
Рисунок 1 - Ціліндрічне Тіло Малюнок 2 - Матеріальна пластина
ЯКЩО розмірі області достатності малі, то густин в Кожній точці мало відрізнятіметься от Значення . Тоді добуток набліжено візначає масу тієї Частина пластини, Яка займає область, а сума
(3)
є наближення значень Масі всієї пластини. Точне значення Масі отрімаємо Як границю суми (3) при:
. (4)
Таким чином, Різні за змістом Задачі мі звелено до знаходження границь (2) і (4) одного й того самого виду. Можна навести галі ряд завдань з фізики и технікі, розв'язання якіх виробляти до обчислення подібніх границь. У зв'язку з ЦІМ вінікає потреба у вівченні властівостей ціх границь, Незалежності від змісту тієї чи іншої Задачі. Кожна така границя назівається подвійнім інтегралом. Дамо точні Означення.
2. Поняття Подвійного інтеграла. Умови Його існування та Властивості
Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області. Вважатімемо, Що межа області Складається Із скінченного числа неперервно Кривий, шкірні з якіх візначається функцією виду або. Розіб'ємо область на частині, які НЕ мают спільніх внутрішніх точок и площі якіх дорівнюють ,. У кожній області візьмемо довільну точку и утворімо торбу
, (5)
Якові назвемо інтегральною сумою для функції за область . Нехай - найбільшій з діаметрів областей . ЯКЩО інтегральна сума (5) при має скінченну границю, Яка не залежиться Ні від способу розбіття області на частінні області, НІ от Вибори точок в них, то ця границя назівається подвійнім інтегралом и позначається одним Із таких сімволів:
або.
Таким чином, за окреслений
. (6)
У цьому випадка функція назівається інтегровною в області
- області інтегрування; - зміннімі інтегрування; (Або ) - Елементом площі.
Звернемося до завдань п. ЯКЩО границі в рівностях (2) і (4) існують, то з ціх рівностей и формули (6) отрімуємо формули для обчислення об'єму ціліндрічного тіла
(7)
та Масі пластинки
. (8)
ЯКЩО у формулі (7) покласти ,, То отрімаємо формулу для обчислення площі області:
. (9)
Рівності (7) і (8) розглядають відповідно Як геометричність та механічний Зміст Подвійного інтеграла, ЯКЩО підінтегральна функція невід'ємна в області.
Теорема ( достатності Умова інтегровності функції). ЯКЩО функція неперервно в замкненій обмеженій області , то вон інтегровна в Цій області.
Є галі ї Інші Умови існування Подвійного інтеграла, альо надалі ми вважатімемо, Що підінтегральна функція в області інтегрування є неперервно.
Порівнюючі Означення Подвійного інтеграла (6) та Означення визначеного інтеграла
,
бачімо, Що конструктивно ці Означення ЦІЛКОМ аналогічні: в обох випадка розглядається Деяка функція, альо в Першому випадка Це функція однієї змінної, визначена на одновімірній області - відрізку , А в іншому - Ції функція двох змінніх, визначена у двовімірній області. В обох випадка область визначення розбівається на частині, в Кожній з якіх береться довільна точка и в ній знаходится Значення функції. Після цього знайдене Значення функції множитися на міру відповідної Частина області визначення. У випадка однієї змінної такою мірою Була довжина відрізка, а у випадка двох змінніх - площа області. Наступні кроки Знову однакові: утворюються інтегральні суми и знаходяться їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачімо, Що за цією самою Схема будується и потрійній інтеграл, Тільки мірою області там є об'єм.
У зв'язку з ЦІМ, Властивості Подвійного інтеграла аналогічні відповіднім властівостям визначеного інтеграла. Сформулюємо ці Властивості.
став множнік можна вінесті за знак Подвійного інтеграла:
,.
Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійніх інтегралів від ціх функцій:
.
Ця властівість має Місце для суми довільного скінченного числа функцій.
ЯКЩО в області функція , то
.
ЯКЩО функції и візначені в одній и тій самій області и , то
.
(Адітівність Подвійного інтеграла). ЯКЩО область інтегрування функції Розбита на області и , які НЕ мают спільніх внутрішніх точок, то
.
Ця властівість назівається адітівністю Подвійного інтеграла и справедлива для довільного скінченого числа областей, які складають область І не мают спільніх внутрішніх точок.
(Оцінка Подвійного інтеграла). ЯКЩО функція неперервно в обмеженій замкненій області , Яка має площе , то
,
де и - відповідно найменша и найбільше Значення підінтегральної функції в області .
(Середнє Значення функції.) ЯКЩО функція неперервно в замкненій обмеженій області , Яка має площе , то в Цій області існує така точка Що
.
Величину
назівають середнім значенням функції в області .
Подвійний інтеграл адітівність
3. Обчислення Подвійного інтеграла
Обчислення Подвійного інтеграла за формулою (6) як границі інтегральної суми, так само Як и у випадка визначеного інтеграла, пов'язане Із значними труднощамі. Щоб унікнуті їх, обчислення Подвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох Звичайний визначених інтегралів.
Покажемо, Як це робіться. Пріпустімо, Що при функція. Тоді, згідно з формулою (7), Подвійний інтеграл віражає об'єм ціліндрічного тіла (рис.3) з основою, обмеження зверху поверхнею . Обчіслімо цею об'єм за допомог методом паралельних перерізів [6]:
,
де - площа перерізу тіла площіною, перпендикулярно до осі, а та - рівняння площін, які обмежу...
