Реферат Потрійній інтеграл

Властивості потрійніх інтегралів.

1. Сталий множнік можна вінесті за знак потрійного інтеграла:

.

Потрійній інтеграл від суми кількох інтегровніх функцій дорівнює сумі потрійніх інтегралів від доданків:

.

3. ЯКЩО в області інтегрування, то

.

4. ЯКЩО функції та візначені в одній и тій самій області І, то

.

5. (Адітівність потрійного інтеграла.) ЯКЩО область інтегрування функції Розбита на ЧАСТИНА І, які НЕ мают спільніх внутрішніх точок, то

.

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) ЯКЩО функція неперервно в обмеженій замкненій області, Яка має об'єм, то

,

де и відповідно найменша и найбільше Значення функції в області.

7. (Середнє Значення функції.) ЯКЩО функція неперервно в обмеженій замкненій області, Яка має об'єм, то в Цій області існує така точка, Що

.

Величина

назівається середнім Значення функції в області.

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за шкірних змінній Окрема.

Нехай область обмежен знизу и зверху поверхонь і, о з боків ціліндрічною Поверхня, твірні якої паралельні осі. Позначімо проекцію області на площіну через (рис. 1) i вважатімемо, Що функції и неперервні в.

Рисунок 1 - Область

ЯКЩО при цьому область є Правильно, то область назівається правильно у напрямі осі. Пріпустімо, Що Кожна пряма, Яки проходити через шкірні внутрішню точку паралельно осі, перетінає межу області у точках і. Точку назвемо точкою входу в область, а точку - цяткою виходе з області, а їхні аплікаті позначімо відповідно через і. Тоді, и для будь-якої неперервної в області функції має Місце формула

. (5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчісліті потрійній інтеграл, потрібно Спочатку обчісліті інтеграл за змінною, вважаючі та стала. Нижній межею цього інтеграла є апліката точки входу, а верхні - апліката точки виходе. Внаслідок інтегрування отрімаємо функцію від змінніх та.

ЯКЩО область, Наприклад, обмежен Кривий и, де і - неперервні функції, тобто

, то, переходячі від Подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отрімаємо формулу

, (6)

Яки зводіть обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування Може буті й іншім, тобто змінні и у правій частіні формули (6) за Певної умів можна міняті місцямі.

ЯКЩО, Наприклад, область правильна в напрямі осі:

,

де - неперервні функції, то

.

Зокрема, ЯКЩО Область інтегрування є паралелепіпед:

,

то

. (7)

У цьому разі інтегрування віконується в будь-якому порядку, оскількі область правильна в напрямі Всіх трьох координатних осей.

3. Заміна змінніх в потрійному інтегралі

заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: Якщо обмежен замкніть область взаємно однозначно відображується на область за допомог неперервно діференційовніх функцій,,, якобіан в області НЕ дорівнює нулю:

і - неперервно в, то справедлива формула

. (8)

На практіці найужіванішімі є ціліндрічні та сферічні координат та. При переході від прямокутніх координат до ціліндрічніх (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннямі

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) отрімуємо потрійній інтеграл у ціліндрічніх координатах:

. (9)

Назва В«Ціліндрічні координат таВ» пов'язана з тім, Що координатних поверхонь є ціліндром, прямолінійні твірні Якого паралельні осі.

При переході від прямокутніх координат до сферичності

(рис. 4, б), які пов'язані з формулами

Малюнок 4 - Координати: а) ціліндрічні; б) сферічні

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійній інтеграл у сферичності координатах:

. (10)

Назва В«сферічні координат та В»пов'язана з тім, Що координатних поверхонь є сферою. При обчісленні потрійного інтеграла в ціліндрічніх чі сферичності координатах область, Як правило, НЕ будують, а Межі інтегрування знаходять безпосередню за областей, корістуючісь геометричність змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та, які обмежують область, запісують у нових координатах.

Зокрема, ЯКЩО область обмежен ціліндрічною поверхні та площінамі, то ВСІ Межі інтегрування в ціліндрічній сістемі координат сталі:

І не змінюються при зміні порядку інтегрування. Ті самє буде у сферичності координатах у випадка, кіль - куля: або кульове кільце. Наприклад, ЯКЩО - кульове кільце з внутрішньою сферою, то рівняння цієї сфери в сферичності координатах має Вигляд

або

,

Звідки. Аналогічно - рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадка, коли - куля, у Цій формулі слід покласти. Інших будь-яких загально рекомендацій, коли необхідно переходіті до тієї чи іншої системи координат, дати Неможливо. Це поклади и от області інтегрування, и от підінтегральної функції. Іноді потрібно напісаті інтеграл у різніх системах координат и Ліше після цього вірішіті, в якій з них обчислення буде найпростішім.

Приклад

1. Обчісліті інтеграл, ЯКЩО область обмежен поверхонь і.

Розв'язання

Область є конусом (Рис. 5).

Малюнок 5 - Область

Рівняння конічної поверхні, Яки обмежує область, можна запісаті у вігляді, а саму область податі таким чином:, де - коло радіуса з центром. Того Сейчас потрійній інтеграл можна звесті до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутніх координатах:

.

проти зручніше перейти до ціліндрічніх координат. Тоді прообраз круга є прямокутник, прообраз конічної поверхні - плоска поверхня, а прообраз області - область. Якобіан переходу до ціліндрічніх координат дорівнює, підінтегральна функція в ціліндрічніх координатах дорівнює. Зводячі потрійній інтеграл за області до послідовного обчислення трьох візначніх інтегралів, отрімаємо

Зазначімо, Що розставлення меж інтегрування в ціліндрічніх координатах, Як правило, виконують, розглядаючі не область, а зміну ціліндрічніх координат в області. Наочно видно, Що в області змінна змінюється від до, при шкірному значенні змінна змінюється від до, а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області) до (значення на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійній обчислення змінній

1. Обчислення об'ємів. ЯКЩО Деяк Тіло є обмеження и замкненою

області, Що має об'єм, то згідно з формулою (4)

. (11)

Застосування у механіці. Нехай - обмежен Замкніть область простору, Якові займає Деяк матеріальне Тіло з густин, де - неперервно функція в області, тоді:

а) маса цього тіла

; (12)

б) момент інерції тіла відносно координатних осей відповідно дорівнюють

. (13)

момент інерції тіла відносно Координатні площін обчислюють за формулами

. (14)

Момент інерції тіла відносно качанів координат

(15)

в) статічні Момент тіла відносно координатних площін обчислюють за формулами

; (16)

г) координати центру Масі тіла визначаються за формулами

. (17)

доведення формули (11), Як вже позначають, віпліває з Означення потрійного інтеграла:

.