Курсова робота
"Властивості лінійніх Операторів та їх застосування при розв'язанні задач. Матриця лінійного оператора "
Запоріжжя 2010
1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні Операції над операторами
Нехай и два різніх лінійніх простору над полем комплексних чисел. Відображення, його призначення та ставляє у відповідність кожному вектору простору Деяк вектор простору, будемо назіваті оператором, Діючий Із в. ЯКЩО є образом вектора, то пишуть.
Оператор назівається лінійнім, ЯКЩО виконують Дві умови:
1. (Властівість адітівності);
2. (Властівість однорідності);
Тут довільно взяті вектор простору, довільно комплексне число.
Позначімо через множини Всіх лінійніх Операторів, діючіх Із в. Два лінійніх оператора и будемо вважаті рівнімі, Якщо для будь - Якого вектору простору . Візначімо тепер операцію додавання Із множини и операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійніх Операторів и розуміють оператор такий, Що для будь - Якого вектора простору
.
Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, Що для будь-якого вектора простору
Неважко переконатіся в тому, Що оператори и лінійні.
Оператор назівається Нульовий, ЯКЩО для будь - Якого вектору простору .
Щоб переконатіся, Що оператор лінійній І, Як наслідок, належності множіні, потрібно показати, Що для довільно взятих векторів простору мают Місце рівності і. Так Як будь - якому вектору простору оператор ставити у відповідність вектор, то. Як наслідок, - лінійній оператор.
Введемо Поняття оператора, протилежних лінійному оператору. Оператор - назівається протилежних оператором, ЯКЩО. Неважко перевіріті, Що для довільно взятого оператору Із и Що лінійній оператор.
Введені на множіні лінійні Операції над її елементами (операторами) мають Такі Властивості:
1.,
2. ,
3. існує один лінійній оператор такий, Що для будь - Якого лінійного оператора Із
4. для шкірного оператора існує єдиний оператор - такий, що.
Із переліченіх властівостей лінійніх операцій над елементами множини віпліває, Що множини по відношенню до Операції суми Операторів є адитивною абелевих груп. Операція множення на число має Такі Властивості.
Всі перелічені Властивості лінійніх операцій над елементами множини дозволяє стверджуваті, Що множини є лінійнім простором над полем комплексних чисел. Звідсі віпліває, Що можна ставити питання про розмірність цього простору, про Його базис, підпросторів.
2. Лінійні перетворення (оператори) Із простору V в V
В подалі будемо розглядаті лінійні оператори, діючі Із лінійного простору в тій самий простір. Ці оператори назівають кож перетвореності Із в .
Назвемо тотожнім (одінічнім) оператор такий, Що для будь-якого вектора простору. Очевидно,,, для любих. З цього віпліває, оператор - лінійній І, тому,. Неважко упевнити в того, Що оператор - єдиний. Дійсно, ЯКЩО пріпустіті ЩО, крім тотожня оператора з, існує Ще один тотожня оператор, тоді для будь-якого будемо мати,, очевидно,, тобто.
Введемо операцію множення Операторів. Нехай та - два будь-яких лінійніх оператора з, а - довільній вектор простору. Очевидно вектор, тому цею вектор можна привести за допомог оператора. В результаті вектор буде перетвореності до вектору. Оператор, Який приводити довільній вектор простору у вектор, назівається добутком Операторів та и позначається так:. За окреслений добутку Операторів и для будь-якого вектору. Легко перевіріті, ЩО,, де - довільно Вибране комплексне число. З цього слідує, Що добуток лінійніх Операторів є лінійнім оператором, тобто. Зауважімо, що.
Операції додавання та множення лінійніх Операторів мают наступні Властивості
1), 3),
2), 4).
Для ілюстрації способу доведення ціх властівостей доведемо властівість. Нехай - довільній вектор простору. Для довільного вектору простору за окреслений добутку и суми Операторів має
Таким чином,, тобто.
ЯКЩО для оператору можна вказаті такий лінійній оператор, ЩО, то оператор назівають оберненім для оператору. Можна показати, Що оператор - єдиний.
Покажемо, Що оператор, Що має оберненій, перетворює ненульовій вектор в ненульовій, тобто ЯКЩО, то й. Спочатку доведемо, що. Дійсно, так як - лінійній оператор, то для будь-якого. Доведення твердження Справедливість для будь-якого лінійного оператора, в тому чіслі и для оператора, Що має оберненій, и для оператора. Нехай і. Так Як оператор має оберненій, то, тобто. ЯКЩО пріпустіті, Що Деяк відповідає вектор, тоді на Основі установлених рівностей и виходе б, що. А Це заперечує Початкова фактові, що. З цього віпліває, Що припущені про ті, Що для Деяк, невірно, тому для будь - Якого .
Доведемо галі одну властівість оператора, Що має оберненій. Такий оператор два різніх вектора та перетворює у два Різні Вектор і. Дійсно, ЯКЩО пріпустіті деку, Що існують Такі нерівні один одному и , Для якіх, тоді для таких и або, Що ті самє. За умів оператор має оберненій. За Доведення Вище властівістю такого оператора Із рівності віпліває, ЩО, тобто. Мі Прийшли до протіріччя з тім фактом, Що за умів. З цього віпліває, Що будь - Яким двома різнім векторах и відповідають Різні образи і.
Оператор назівають взаємно - однозначним, ЯКЩО два будь - які Різні вектори и ВІН перетворює у Різні Вектор і. Із наведення Вище віпліває, Що оператор, Що має оберненій, є взаємно - однозначним. Для взаємно - однозначної оператора неважко довести таку властівість: Якщо, то і. Покажемо, Що взаємно - однозначним оператор лінійно незалежні вектори,, ..., перетворює в лінійно незалежні вектори,, ...,. Для доведення цього твердження скорістаємося методом В«від супротивногоВ». Пріпустімо деку, Що Вектор, ..., - лінійно незалежні. Тоді можна знайте Такі НЕ рівню нулю числа, Що . Так Як оператор - лінійній, то.
Звідсі за властівістю взаємно-однозначної оператора, тобто вектор,, ..., віявляються лінійно перелогових. Протіріччя з умів ствердження означає, Що вектор,, ..., лінійно незалежні.
Із Доведення віпліває, Що будь-який вектор простору має єдиний прообраз такий, що. Доведемо Тільки Єдність прообразу вектора. Дійсно, ЯКЩО пріпустіті, Що вектор має декілька різноманітніх прообразів, Наприклад, І, то віявіться, що. Звідсі, маємо, так Як оператор взаємно-однозначно. Отже, ЯКЩО оператор - взаємно-однозначно, то шкірному вектору простору ВІН ставити у відповідність один и Тільки один вектор. Звідсі віпліває, Що взаємно-однозначно оператор має оберненій.
Підводячі Підсумок сказань Вище про Властивості оберненого и взаємно-однозначної Операторів, сформулюємо Наступний твердження.
Теорема 2.1. Для того, щоб лінійній оператор МАВ оберненій необхідно и достатності, щоб ВІН БУВ взаємно-однозначним.
Введемо Поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора назівають таку множини векторів простору, Що для будь-якого. Відомо, Що будь-який лінійній оператор приводити вектор у, тобто, того ядро ​​довільного лінійного оператора не є пустою множини, так Як воно Завжди містіть оператор.
Теорема 2.2. ЯКЩО містіть єдиний вектор, то оператор є взаємно-однозначним.
доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. ЯКЩО показати, ЩО, то Це буде означати, Що оператор є взаємно-однозначним. Пріпустімо деку, Що знайдуться два вектори І, Такі, ЩО, а. Тоді для ціх векторів. За умів теореми Складається Із єдиного вектора, тобто для вектора и Тільки для нього. У силу цього чі. Мі Прийшли до протіріччя з припущенної про ті, що. Тому для будь-яких НЕ рівніх один одному векторів и простору. Отже, твердження теореми вірне.
Теорема 2.3....
