Зміст
чисельну інтегрування формула програмування
Введення
1. Методи чисельного інтегрування
2. Квадратурні формули
3. Автоматичний вибір кроку інтегрування
Висновок
Бібліографічний список
Введення
Мета реферату полягає в вивчення та порівняльний аналіз методів чисельного інтегрування функцій; реалізація цих методів у вигляді машинних програм на мові високого рівня та практичне вирішення завдань чисельного інтегрування на ЕОМ.
При вирішенні інженерних задач часто виникає необхідність в обчисленнях значень певного інтеграла вигляду
. (1)
Якщо функція неперервна на відрізку [ a , b ] і її первообразная може бути визначена через відому функцію, то обчислення такого інтеграла здійснюється за формулою Ньютона - Лейбніца:
.
В інженерних задачах отримати значення інтеграла в аналітичному вигляді вдається рідко. Крім того, функція f ( x ) може бути задана, наприклад, таблицею експериментальних даних. Тому на практиці для обчислення визначеного інтеграла використовують спеціальні методи, в основі яких лежить апарат інтерполювання.
Ідея таких методів полягає в наступному. Замість того, щоб обчислювати інтеграл за формулою (1), спочатку обчислюють значення функції f ( x i ) = y i в деяких вузлах x i ГЋ [ a , b ]. Потім вибирається інтерполяційний многочлен P ( x ), що проходить через отримані точки ( x i , y i ), який використовується при обчисленні наближеного значення інтеграла (1):
.
При реалізації такого підходу формули чисельного інтегрування приймають наступний загальний вигляд:
, (2)
де - вузли інтерполювання, A i - деякі коефіцієнти, R - залишковий член, що характеризує похибка формули. Зауважимо, що формули виду (2) називають квадратурних формул.
Геометричний сенс чисельного інтегрування полягає в обчисленні площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f ( х ), віссю абсцис і двома прямими х = а і х = b. Наближене обчислення площі призводить до відкиданню в квадратурних формулах залишкового члена R , характеризуючого похибка методу, на яку додатково накладається обчислювальна похибка.
1. Методи чисельного інтегрування
У прикладних дослідженнях часто виникає необхідність обчислення значення певного інтеграла
Як відомо з курсу математики, аналітично обчислення інтеграла можна провести не у всіх випадках. І навіть у тому випадку, коли вдається знайти аналітичний вигляд цього інтеграла, процедура обчислення дає наближений результат, тому виникає задача наближеного значення цього інтеграла.
Суть наближеного обчислення полягає в двох операціях: 1. у виборі кінцевого числа замість n; 2. у виборі точки у відповідному відрізку.
В залежності від вибору ми отримуємо різні формули для обчислення інтеграла: Формули лівих і правих прямокутників (5), (6)
(5)
(6)
Формула трапеції:
Формула Сімпсона
де m = n/2
h = b-a/n
b, a - кінці розглянутого відрізка.
Для порівняння результатів обчислення вищевикладеними формулами чисельного інтегрування обчислимо 3-ма способами наступний інтеграл, розділивши відрізок [0,] на 6 рівних відрізків:
h =
За формулою лівих прямокутників:
За формулою трапеції:
За формулою Сімпсона:
А результат отриманий аналітично дорівнює
= 1
Отже, можна зробити висновок про те, що чисельний метод інтегрування за формулою Сімпсона є більш точним, але використовується в загальному випадку при діленні рассоріваемого відрізка на парне число проміжків.
2. Квадратурні формули
Формули прямокутників є найбільш простими квадратурні формули. Розіб'ємо відрізок інтегрування [ a, b ] на п рівних частин довжиною. Зауважимо, що величину h називають кроком інтегрування. У точках розбиття х 0 = а , х 1 = a + h , ..., x n = b відзначимо ординати y 0 , y 1 , ..., y n кривої f ( x ), тобто обчислимо у i = f ( x i ) , x i = a + ih = x i -1 + h ( i = ). На кожному відрізку довжиною h побудуємо прямокутник зі сторонами h і y i , де i = , тобто за значеннями ординат, обчислених в лівих кінцях відрізків. Тоді площа криволінійної трапеції, визначальну величину інтеграла (1), наближено можна представити у вигляді суми площ прямокутників (рис. 1). Звідси отримаємо формулу прямокутників:
. (3)
Якщо при обчисленні інтегральної суми брати значення функції f ( x ) не в лівих, а в правих кінцях відрізків довжиною h , що показано на рис. 1 пунктирною лінією, то отримаємо другий варіант формули прямокутників:
. (4)
Третій варіант формули прямокутників можна отримати при використанні значень функції f ( x ), обчислених в середній точці кожного відрізка довжини h (рис. 2):
. (5)
Формули (3), (4) і (4) називають формулами лівих, правих і центральних прямокутників відповідно.
Рис. 1
Рис. 2
Формула трапецій. Тут на кожному елементарному інтервалі [ x i -1 , x i ] довжини h точки з координатами ( x i -1 , y i - 1 ) і ( x i , y i ) з'єднуються відрізком (рис. 3). Тоді площа трапеції, побудованої на цьому інтервалі, визначається добутком 0,5 h ( y i -1 + y i ). Підсумовуючи площі елементарних трапецій для i = отримаємо наближене значення інтеграла:
. (6)
Рис. 3.
Формула Сімпсона. Розіб'ємо інтервал інтегрування на 2 n рівних частин довжиною . На кожному відрізку [ x i , x i +2 ] подинтегральную функцію f ( х ) замінимо параболою, що проходить через точки ( x i , y i ), ( X i +1 , y i +1 ), ( x i +2 , y i +2 ). Тоді наближене значення інтеграла визначається формулою Сімпсона:
. (7)
При обчисленнях на ЕОМ більш зручна наступна формула:
Метод Сімпсона - один з найбільш широко відомих і застосовуваних методів чисельного інтегрування, він дає точні значення інтегралу при інтегруванні многочленів до третього порядку включно.
Формула Ньютона. Наближене значення інтеграла по формулою Ньютона обчислюється таким чином:
де число ділянок розбиття кратно трьом, тобто становить 3 n . При розробці програм для ЕОМ зручніше використовувати еквівалентну формулу:
Метод Ньютона дає точні значення інтеграла при інтегруванні многочленів до четвертого порядку включно.
3. Автоматичний вибір кроку інтегрування
У результаті розрахунку по формулами (3...
