Геометрія Лобачевського
Зміст
Введення
Глава I. Історія виникнення неевклідової геометрії
1.1 V постулат Евкліда, спроби його докази
1.2 Постулати паралельності Евкліда і Лобачевського
Глава II. Геометрія Лобачевського
2.1 Основні поняття
2.2 Несуперечність геометрії Лобачевського
2.3 Моделі геометрії Лобачевського
2.4 Дефект трикутника і багатокутника
2.5 Абсолютна одиниця довжини в геометрії Лобачевського
2.6 Визначення паралельної прямої. Функція П (х)
2.7 Модель Пуанкаре
Практична частина
1. Сума кутів трикутника
2. Питання про існування подібних фігур
3. Основна властивість паралелізму
4. Властивості функції П (х)
Висновок. Висновки
Додатка
Список використаної літератури
Введення
Дана робота показує схожість і відмінності двох геометрій на прикладі докази одного з постулатів Евкліда і продовження цих понять в геометрії Лобачевського з урахуванням досягнень науки на той момент.
Будь-яка теорія сучасної науки вважається вірною, поки не створена наступна. Це своєрідна аксіома розвитку науки. Цей факт багаторазово підтверджувався.
Фізика Ньютона переросла в релятівісткую, а та - в квантову. Теорія флогістону стала хімією. Така доля всіх наук. Доля ця не обійшла геометрію. Традиційна геометрія Евкліда переросла в геометрії. Лобачевського. Саме цього розділу науки присвячена ця робота.
Мета даної роботи: розглянути відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда.
Завдання даної роботи: порівняти теореми геометрії Евкліда з аналогічними теоремами геометрії Лобачевського;
допомогою вирішення завдань вивести положення геометрії Лобачевського.
Висновки: 1. Геометрія Лобачевського побудована на відмові від п'ятого постулату Евкліда.
2. В геометрії Лобачевського:
не існує подібних трикутників, які не рівні;
два трикутники рівні, якщо їх кути рівні;
сума кутів трикутника не дорівнює 180 0 , а менше (сума кутів трикутника залежить від його розмірів: чим більше площа, тим сильніше відрізняється сума від 180 0 ; і навпаки, чим менше площа, тим ближче сума його кутів до 180 0 );
через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, паралельної даній.
Рекомендації: Я пропоную використовувати цю роботу як додаткову літературу в класах з поглибленим вивченням математики.
Глава 1. Історія виникнення неевклідової геометрії
1.1 V постулат Евкліда, спроби його докази
Евклід - автор першого дійшов до нас суворого логічного побудови геометрії. У ньому виклад на стільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моменту появи його праці В«ПочаткиВ» він був єдиним керівництвом для вивчаючих геометрію.
В«НачалаВ» складаються з 13 книг, присвячених геометрії та арифметиці в геометричному викладі.
Кожна книга В«ПочавВ» починається визначенням понять, які зустрічаються вперше. Слідом за визначеннями Евклід приводить постулати і аксіоми, тобто затвердження, що приймаються без доказу.
V постулат Евкліда свідчить: і щоб всякий раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними односторонні внутрішні кути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з тієї сторони, з якої ця сума менше двох прямих.
Найважливішим недоліком системи евклідових аксіом, включаючи і його постулати, є її неповнота, то є недостатність їх для строго логічного побудови геометрії, при якому кожна пропозиція, якщо воно не фігурує в списку аксіом, має бути логічно виведено їх останніх. Тому Евклід при доказі теорії не завжди грунтувався на аксіомах, а вдавалися в інтуїції, до наочності та В«ЧуттєвимВ» сприйняттям. Наприклад, поняття В«міжВ» він приписував суто наочний характер; він мовчазно припускав, що пряма, що проходить через внутрішню точку окружності, неодмінно повинна перетнути її в двох сторч. При цьому він грунтувався лише на наочності, а не на логіці; докази цього факту він ніде не дав, і дати не міг, так як у нього були відсутні аксіоми безперервності. Немає в нього і деяких інших аксіом, без яких строго логічне доказ теорем не можливо.
Але ніхто не сумнівався в істинності постулатів Евкліда, що стосується і V постулату. Тим часом вже в давнину саме постулат про паралельних привернув до себе особливу увагу ряду геометрів, які вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Ймовірно, це було пов'язано з відносно меншою очевидністю і наочністю V постулату: у неявному вигляді він припускає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частин площині, висловлюючи властивість, яка виявляється тільки при нескінченному продовженні прямих.
Сам Евклид і багато вчені намагалися довести постулат про паралельних. Одні намагалися довести постулат про паралельних, застосовуючи тільки інші постулати й ті теореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Всі такі спроби виявилися невдалими. Їх загальний недолік в тому, що в доказі неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рівносильне доказуваному постулату. Інші пропонували по-новому визначити паралельні прямі або ж замінити V постулат небудь, на їхню думку, більш очевидним пропозицією.
Але багатовікові спроби докази п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, що відрізняється тим, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в Росії носить ім'я Лобачевського, який вперше опублікував роботу з її викладом.
І однією з передумов геометричних відкриттів Н.І Лобачевського (1792-1856) був якраз його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський він був твердо впевнений в об'єктивному і не залежних від людської свідомості існування матеріального світу і можливості його пізнання. У промові В«Про найважливіших предметах вихованняВ» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф. Бекона: В«залиште працювати надармо, намагаючись витягти їх одного розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини і на всі питання ваші буде відповідати вам неодмінно і задовільно В». У своєму творі В«Про основи геометріїВ», є першою публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевський писав: В«перші поняття, з яких починається яка-небудь наука, повинні бути зрозумілі і приведені до самого меншому числу. Тоді тільки вони можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; вродженим - не повинно вірити В».
Перші спроби Лобачевського довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року він прийшов до переконання в тому, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда і 11 (23) лютого 1826 року зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь В«Стислий виклад початків геометрії із строгим доказом теореми про паралельних В», в якому були викладені початку відкритої їм В«уявлюваного геометріїВ», як він називав систему, пізніше отримала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826 увійшов до складу першої публікації Лобачевського по неевклідової геометрії - Статті В«Про початки геометріїВ», надрукованій в журналі Казанського університету В«Казанський вісникВ» в 1829-1830гг. подальшому розвитку і додаткам відкритої їм геометрії були присвячені мемуари В«Уявна геометріяВ», В«застосування уявної геометрії до деяких інтегралом В»іВ« Нові початку геометрії з повною теорією паралельних В», опубліковані вВ« Учених записках В»відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 рр.. Перероблений текст В«уявної геометріїВ» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшли окремою книгою німецькою мовою В«Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній В»Лобачевського. Нарешті, в 1855 і 1856 рр.. він видав ...
