Міністерство освіти Російської Федерації
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Оборотні матриці над кільцем Z n
Виконала:
Студентка V курсу
Математичного факультету
Сичова О. Г.
Науковий керівник:
д.ф.-м.н., професор
Вечтомов Є. М.
Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент
Чермний В. В.
Допущена до захисту в ДАК
Завкафедрою Вечтомов Е М.
«»
Декан факультету Варанкіна В. І.
«»
Кіров 2003
Зміст:
Введення .......................................................................... 2 стр.
В§ 1 Основні поняття .......................................................... 3 стор
В§ 2 Оборотні матриці над полем Z p
п.1 формула для підрахунку оборотних матриць порядку 2 .......... 10 стор
п.2 формула для підрахунку оборотних матриць порядку 3 .......... 11 стор
п.3 загальна формула підрахунку оборотних матриць над полем Z p .. 16 стор
В§ 3 Оборотні матриці над Z n ............................................. 17 стор
Література ...................................................................... 27 стор
Введення
Теорія матриць є одним з основних питань лінійної алгебри.
Мета даної роботи: підрахувати кількість оборотних матриць над кільцем відрахувань і по можливості отримати формулу для їх обчислення. Для обчислення кількості оборотних матриць скористалися теорією визначників і повним перебором всіх можливих варіантів отримання елементів в кільцях вирахувань.
Вся робота розбита на два етапи:
У В§ 2 показаний метод побудови оборотних матриць другого і третього порядків над полем Z p . В кінці параграфа побудована гіпотеза формули підрахунку кількості оборотних матриць n-го порядку над полем Z p .
У В§ 3 наведено алгоритм побудови оборотних матриць другого порядку над деякими кільцями відрахувань (Наведені конкретні приклади). В кінці параграфа побудована гіпотеза формули підрахунку кількості оборотних матриць другого порядку над кільцем класів лишків Z n .
В§ 1. Основні визначення.
Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими математичними об'єктами. Частіше всього розглядаються матриці, заповнені елементами з деякого поля P .
Елементи матриці позначаються однією буквою з двома індексами, що вказують "адресу" елемента - перший індекс дає номер рядка, що містить елемент, другий - номер стовпця. Якщо матриця має m рядків і n стовпців, то говорять, що матриця має розмірність (або - розмірів). Ми будемо позначати матриці заголовними латинськими літерами, а її елементи - такими ж буквами, але рядковими. Таким чином, матриця (розмірів) записується у формі:
.
Матриця, що складається з одних нулів, називається нульовою.
Будемо позначати її 0 .
Матриця, що має одне і те ж число n рядків і стовпців, називається квадратною. Число n називається порядком квадратної матриці.
Елементи матриці, у яких обидва індекси дорівнюють ( i = j ) називаються діагональними, а уявна пряма, що сполучає всі діагональні елементи матриці називається головною діагоналлю.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.
Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею і позначається Є. :
Дві матриці вважаються рівними, якщо вони одного розміру і у них збігаються відповідні елементи.
Дві матриці A = ( a ij ) і B = ( b ij ) одного і того ж розміру можна складати, їх сумою буде матриця того ж розміру C = ( c i j ),, тобто щоб отримати суму двох матриці достатньо скласти відповідні елементи цих матриць.
Твір елемента c з поля на матрицю A = ( a ij ) визначається наступним чином: cA = ( ca ij ) .
Для будь матриці A існує протилежна - A така, що
A + ( - A ) = 0 .
Всі перераховані властивості безпосередньо випливають з визначень і властивостей операцій в поле.
Розглянемо матрицю A = ( a ij ) розміром і матрицю B = ( b ij ) розміром (тому твір матриць визначено лише в тому випадку, коли число стовпців в першій матриці дорівнює числу рядків у другій). Для таких матриць введемо дію множення матриці на матрицю, в результаті чого виходить матриця C = ( c ij ) розміром, де.
Отже, матриці можна складати, множити їх на скаляр, а також множити матрицю на матрицю. Ці дії мають властивості:
За додаванню:
1. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) - асоціативність;
2. A + B = B + A - комутативність;
3. Існує нейтральний елемент - матриця 0: A + 0 = 0 + A = A
4. Для матриці A існує зворотний елемент - A : A + ( - A ) = 0
За множенню матриць на скаляр:
5.
6.
7.
8.
За множенню матриць:
9. Добуток матриць в загальному випадку НЕ комутативність, тобто AB ВА
10. ( AB ) C = A ( BC ) - асоціативність;
11. ( CA ) B = A ( cB ) = cAB
12. Дистрибутивність множення щодо складання (права і ліва)
13. Існує єдиний нейтральний елемент E
(Якщо A - квадратна): EA = AE = A . Якщо ж A розміром, то
E m A = AE n = < i> A .
14. Твір матриці А на нульову матрицю дає в результаті так само нульову матрицю (існують випадки, коли нульова матриця виходить в результаті перемножування ненульових матриць).
Для квадратних матриць фіксованого порядку n дії додавання і множення визначені завжди, і їх результатами є квадратні матриці того ж порядку. Таким чином, квадратні матриці фіксованого порядку утворюють кільце.
Визначником n -го порядку квадратної матриці А , називається алгебраїчна сума n ! члені...
