Завдання. Знайти невизначені інтеграли. Результат перевірити диференціюванням.
а)
Використовуваний прийом інтегрування називається підведенням під знак диференціала. Перевіримо результат диференціюванням.
б)
В цьому інтегралі також використовується підведення під знак диференціала
Перевіримо результат диференціюванням.
в)
Для вирішення цього інтеграла скористаємося формулою інтегрування "по частинах ". Наведемо формулу інтегрування частинами:
В цьому інтегралі розпишемо складові таким чином:
Продифференцируем u і проінтегруємо dv щоб ми могли застосувати формулу інтегрування по частинах:
підінтегральна вираз є неправильна раціональний дріб. Необхідно привести її до суми правильних раціональних дробів, виконавши ділення кутом чисельник на знаменник.
Повернемося до вихідного інтегралу:
Перевіримо результат диференціюванням:
г)
інтеграл диференціювання рівняння парабола
підінтегральна вираз є неправильною раціональної дробом. Необхідно перетворити її в суму правильних раціональних дробів, виконавши ділення кутом чисельник на знаменник:
підінтегральна вираз являє собою правильну раціональну дріб. Щоб проінтегрувати її необхідно її представити у вигляді суми найпростіших дробів. Знайдемо коріння знаменника
по теоремі Вієта
Розкладемо правильну раціональну дріб в суму найпростіших методом невизначених коефіцієнтів:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, складемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів А і В:
Вирішуючи СЛАУ знаходимо значення коефіцієнтів:
Возвратимся до вихідного інтегралу:
Результат перевіримо диференціюванням:
Завдання. Обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца визначений інтеграл.
Перейдемо до заміни змінних в певному інтегралі:
Завдання. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою. Зробити креслення.
Рішення. Площа області S, обмеженою знизу функцією g (x), зверху-функцією f (x), зліва - вертикальної прямої, праворуч - вертикальної прямої дорівнює дорівнює визначеному інтегралу:
Так як ми поки не знаємо, яка ж з функцій є більшою на відрізку, побудуємо креслення. Точки, є абсцисами точок перетину графіків цих двох функцій.
Як видно з побудови парабола лежить вище прямої на відрізку, тому:
абсцис точок перетину суть відповідно -6 і -1. Ці значення ми також можемо отримати вирішивши в системі рівняння двох кривих
по теоремі Вієта маємо:,. Тепер залишилося тільки застосувати формулу обчислення площі криволінійної області:
-6
-1
Знайти загальне рішення диференціального рівняння і приватне рішення, задовольнить початковому умові при
Рішення: маємо лінійне рівняння першого порядку. будемо шукати рішення рівняння у вигляді добутку двох функцій від х:
Запишемо вихідне вираз у вигляді:
Виберемо функцію такої щоб вираз в дужках дорівнювало нулю:
Поділяючи змінні в цьому диференціальному рівнянні щодо функції v, знаходимо:
Так як вираз у дужках підібрано так, щоб воно дорівнювало нулю, підставимо знайдене значення в рівняння для визначення u.
Таким чином знаходимо спільне рішення системи
Підберемо змінну С так щоб виконалися початкові умови, що буде приватним рішенням диференціального рівняння:
Отримане приватне рішення диференціального рівняння, відповідне поставленим початковим умовам.
Завдання. Знайти спільне рішення диференціального рівняння і приватне рішення, задовольняє початковим умовам, при. (,)
Рішення: Нехай маємо неоднорідне лінійне рівняння другого порядку:
Структура спільного рішення такого рівняння визначається наступною теоремою:
Теорема: Загальне рішення неоднорідного рівняння представляється як сума якого-небудь приватного рішення цього рівняння y * і загального рівняння y відповідного однорідного рівняння:
Щоб знайти спільне рішення відповідного однорідного рівняння (тобто такого, в якому права частина дорівнює нулю) необхідно знайти коріння характеристичного рівняння і по ним визначити вид рішення.
Характеристичне рівняння в нашому випадку є:
має дійсні і різні коріння:,.
Загальний інтеграл є:
Права частину лінійного рівняння другого порядку має вигляд:, де - многочлен 0-го ступеня, пЃЎ = 2 (не є коренем характеристичного многочлена).
тому приватне рішення слід шукати у вигляді:
де - постійний коефіцієнт, що підлягає визначенню. Підставляючи y * в заданий рівняння, матимемо:
Маємо рішення. Отже, приватне рішення знайшли у вигляді:
Таким чином, загальний інтеграл даного рівняння має вигляд:
Для визначення коефіцієнтів С1 і С2 використовуємо початкові умови:
При х = 0 функція дорівнює 2
При х = 0 перша похідна функції дорівнює -1:
Складемо систему з цих двох рівнянь і вирішимо її відносно невідомих С1 і С2
Таким чином, приватне рішення даного диференціального рівняння запишеться у вигляді:
