1) Диференціальне рівняння. Загальне рішення. Приватне рішення. Задача Коші
Діф.ур-м наз-ся ур-е , що зв'язує незавісім.перем. х Сіком ф-ію у, і її похідні.
.
. => ОДУ
.
Загальним рішенням ОДУ першого порядку назся ф-ия, удовл.след.условіям:
1) явл.решеніем ур-я при
2) в€ѓ таке значення проізв.пост. , При якому удовл.данному нач.условію. -Загальний інтеграл
Частн.решеніем обикн.діф.ур-я першого порядку наз-ся ф-ия кот.получ.із спільного рішення ) При конкретному значенні с.
Задача Коші - задача знаходження обикнов. діф.ур-я удовлет. початкового умові
2) Рівняння з відокремлюваними змінними.
Наз-ся звичайне уравнеіе1 порядку, кот.прів.к увазі:
До них відносять. діф.ур.віда:
1) 2) помножимо на =>
. - ур-е з раздел.перем.
3) Однорідні рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідних
Ф-ия наз-ся однород.ф-їй порядку або n-ой вимірами щодо пере якщо при.
. аргументом явл.дробь.
4) Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник
. Ур-е наз-ся ур-ем в повних діф.еслі сущ-ет тако ф-ия
.
5) Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
ДУ 1 порядку наз-ся лінійним, якщо його можна записати у вигляді - задані ф-ії, зокрема - Постійні.
а) Метод Бернуллі
Рішення ур-яіщется у вигляді добутку двох інших ф-ий, тобто сРер допомогою підстановки - невідомі ф-ії х, причому одна з них довільна (Але в‰ 0) - днйствітельно будь-яку ф-ію у (х) можна записати як:
,). Тоді Підставляючи вираз у і у 'в отримуємо: Підберемо ф-ту так що б
. Отже,, інтегруючи отримуємо:
Зважаючи свободи вибору ф-ії можна прийняти з = 1 => v =
Підставляючи знайдену ф-ію в ур-е отримуємо:.
Отримано рівняння з раздел.перем.Решаем його:
.
Повертаючись до змінної у, получеам рішення вихідного ДУ
. східного ДУ змінної у, одержуємо рішення го поля. Знаходження потенціалу по заданому прикладу.
б) Метод Лагранжа
Розглянемо однорідне рівняння . Очевидно, це рівняння з відокремлюваними змінними, його рішення:
Рішення вихідного рівняння будемо шукати у вигляді:
Підставивши отримане рішення в вихідне рівняння:, отримуємо: cгде c1 - довільна константа.
Таким чином, рішення вихідного рівняння можна отримати шляхом підстановки c (x) в рішення однорідного рівняння: .
6) Рівняння Бернуллі
Ур-е виду
Якщо n = 0, то ДУ - лінійне, а при n = 1 - з раздел.переменнимі.
Дане ур-е вирішується двома способами:
Перший спосіб
Заміною
, рівняння приводиться до лінійного і може бути вирішено методом Лагранжа (Варіації постійної) або методом інтегруючого множника.
Другий спосіб
Замінимо.
Тоді .
Підберемо так, щоб було
.
для цього досить вирішити рівняння з відокремлюваними змінними 1-го порядку.
Після цього для визначення отримуємо рівняння
- рівняння з відокремлюваними змінними.
7) Рівняння недозволене щодо Метод введення параметра
- щодо похідної
a)
б)
в)
.
де П† і П€ відомі ф-ії від наз-ся ур-ем Лагранжа.
Введемо вспомогат.параметр, поклавши у '= p. Тоді ур-е прийме вигляд: у = П† (p) + П€ (p). Діфференц.по х, отримаємо:
, тобто або - Лінійне ур-е относіт.неізвестной, вирішивши його знайдемо:. Виключаючи параметр р з і отримуємо загальний інтеграл ур-я у вигляді . При діленні на могли бути втрата рішення, для яких, тобто . Це значення явл.корнем ур-я. Рішення явл.особим для ур-я
г) Рівняння Клеро
Розглянемо окремий випадок рівняння Лагранжа при Рівняння набирає вигляду
і називається урaвнeніeм Клеро. Поклавши, отримуємо:
.
Диференціюючи по х, маємо: або.
Якщо, то. Тому, з урахуванням, ДУ має спільне рішення.
Якщо, отримуємо приватне рішення рівняння в параметричній формі:
.
Це рішення - особливе рішення рівняння Клеро: воно не міститься у формулі загального рішення рівняння.
8) Особливу рішення
9) Лінійне рівняння n -го порядку. Запис за допомогою L . Властивості
,.
.
Якщо коеф. непрер., то т.осущ.і едін.доказана.
Лінійний діф.оператор (ЛДО):, то
Св-ва:
1); 2); 3).
10) Лінійна незалежність функції. Визначник Вронського. Теорема лінійної залежності .
Функції називаються лінійно незалежними на інтервалі якщо рівність, де, виконується тоді і тільки тоді,
коли
Засобом вивчення лінійної залежності сестеми ф-ий явл.так званий визначник Вронсоко або вронскіан. Для двох діф.ф-ий вронскіан має вигляд:
.
Теорема лін. Залежно : Якщо діф.ф-ії лін.завісіми на, то визначник Вронського на цьому інтервалі тотожно дорівнює нулю.
Так як функції лінійно залежні, то в рівності значення відмінне від нуля. Нехай, тоді тому для будь-якого
.
11) Якщо лінійно незалежні вџ№ Доказ
Якщо функції - лінійно незалежні рішення рівняння на то визначник Вронського на цьому інтервалі ніде не звертається в нуль.
З теореми випливає, що вронскіан не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу ( a ; b ) тоді і тільки тоді, коли приватні рішення лінійно незалежні.
12 Фундаментальна система рішень. Теорема існування фундаментальної системи рішень. Доказ
Фундаментальна система рішень (ФСР) представляє собою набір лінійно незалежних рішень однорідної системи рівнянь.
Сукупність будь-яких двох лінійно незалежних на інтервалі (a; b) приватних рішень ЛОДУ другого порядку визначає фундаментальну систему рішень цього рівняння: будь-яке довільне рішення може бути отримано як комбінація
Теорема (Про ФСР)
Якщо два приватних рішення ЛОДУ утворюють на інтервалі (а; b) фундаментальну систему, то спільним рішенням цього рівняння є функція
, де і - довільні постійні.
13) Побудова загального рішення ЛОДУ
13.Построеніе спільного рішення ЛНДУ.
14.ЛДУ n-го порядку з постійним коефіцієнтом. Загальне рішення. ЛОДУ, характеристичні мн-н. Коріння прості.
15.ЛОДУ, характеристичні мн-н. Коріння кратні.
16.ЛНДУ. Метод підбору приватного рішення.
18. Системи ДУ. Метод зведення до ДУ n-го порядку.
19.Сістеми ДУ. Метод інтегрованих комбінацій.
20. Система ЛДУ. Матрична запис. Властивості
21 Залежні та незалежні рішення. Визначник Вронського.
22.Сістема ЛОДУ. Властивості
23.Фундаментальная система рішень. Побудова загального рішення.
24.ЛН системи. Метод варіацій.
25.Л Про системи з постійним коефіцієнтом. Метод Ейлера.
рівняння лінійний рішення Бернуллі
