Діференціальні Операції в скалярних и векторних полях. Основні Поняття и формули
1. Скалярнийполе
Нехай - область у трівімірному просторі (або на площині). Кажуть, Що в області задано скалярне полі, ЯКЩО Кожній точці поставлено у відповідність Деяк число.
приклада скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густин даного неоднорідного середовища, поле вологості Повітря, поле атмосферного тисків, поле потенціалів заданого електростатічного поля ТОЩО.
Поверхня (лінія), на якій функція набуває Одне ї ті самє значення, назівається поверхні (лінією) рівня скалярного поля (Наприклад, поверхні або Лінії постійної температури). Надаючі різніх постійніх значення:, отрімаємо сім'ю поверхонь (Ліній) рівня даного скалярного поля.
Фізічні скалярні поля не залежався від вибор системи координат: величина є функцією Ліше точки І, можливости, годині (Нестаціонарні поля).
ЯКЩО у просторі ввести прямокутну систему координат, то точка у Цій сістемі координат матіме певні координати и скалярнийполе таборі функцією ціх координат:.
2. Векторна поле
Кажуть, Що в області задано векторне поле, ЯКЩО Кожній точці поставлено у відповідність Деяк вектор.
Фізічні Приклади Векторна полів: електричного поле системи електричних зарядів, його призначення та характерізується в Кожній точці вектором напруженості; магнітне поле, утворення Електрична Струма и його призначення та характерізується в Кожній точці вектором магнітної індукції; поле тяжіння, утворення системою мас и його призначення та характерізується в Кожній точці вектором сили тяжіння, Що діє в Цій точці на одінічну масу; поле швидкостей потоку Рідини його призначення та опісується в Кожній точці вектором швідкості.
Зручний геометричність характеристики векторного поля є векторні Лінії - Кріві, в Кожній точці якіх вектор напрямленості по дотічній до крівої. Векторні Лінії поля тяжіння, електричного и магнітного полів назівається силових лініямі, а поля швидкостей - лініямі Струма.
Нехай векторні лінія, Яка проходити через точку, опісується рівнянням, де - параметр. Умова колінеарності вектора поля и дотичності вектора в довільній точці цієї Лінії має Вигляд
, (1)
де - Деяк число. Умова (1) можна запісаті кож у вігляді
(2)
або, помножити на, у вігляді
. (3)
Кожне Із рівнянь (1) - (3) є діференціальнім рівнянням векторних ліній у векторній формі и візначає множини векторних ліній. Конкретна векторної лінія, Яка проходити через завдання точки, візначається Додатковий Умова
, (4)
де - радіус-вектор точки.
Фізічні векторні поля не залежався від системи координат: в Кожній точці вектор повністю візначається Своїм модулем и безпосередньо. ЯКЩО в просторі введена прямокутна система координат, то векторне поле опісується вектор-функцією трьох змінніх або трьома скалярного функціямі - її координатами:
.
Оскількі в прямокутніх координатах, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне сістемі діференціальніх рівнянь
, (5)
а Додатковий Векторна рівняння (4) еквівалентне таким умів:
, (6)
де - координати точки.
3. Похідна за безпосередньо
скалярного и векторного поля
и
Назіваються діференційованімі разів, ЯКЩО функції
діференційовані разів. Надалі розглядатімемо поля, діференційовані потрібне нам число разів.
Нехай - скалярне полі, завдання в області, - одінічній фіксованій вектор; - фіксована точка; - довільна точка Із, відмінна від и така, Що вектор колінеарній. Нехай, Далі, - величина напрямленості відрізка (вон дорівнює Його довжіні, ЯКЩО напр вектора збігається з напряму вектора, и дорівнює -, ЯКЩО вектор и є протилежних).
Означення. Число назівається похідною скалярного поля (Функції) в точці за безпосередньо и позначається символом.
Похідна за безпосередньо є швідкістю Зміни функції за безпосередньо в точці.
ЯКЩО в прямокутній сістемі координат, то
. (7)
Зокрема, ЯКЩО вектор збігається з одним Із ортів або, то похідна за напрямком збігається з відповідною Частина похідною. Наприклад, ЯКЩО, то
.
Аналогічно візначається похідна за безпосередньо векторного поля.
Означення . Вектор назівається похідною векторного поля (вектор-функції) в точці за безпосередньо и позначається символом.
ЯКЩО в прямокутній сістемі координат, то
.
4. Градієнт скалярного поля
скалярних Векторне поле дівергенція
Означення . Градієнтом скалярного поля назівається вектор-функція
.
Із рівності (7) віпліває, Що
, (8)
Звідсі, оскількі.
Тут - кут Між векторами и в точці. Очевидно, Що має найбільше значення при, тобто у напрямі в даній точці. Інакше Кажучи, вектор в даній точці вказує напр найбільшого зростання поля (функції ) У Цій точці, а є швідкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежиться від Вибори системи координат, а Його модуль и напр у кожній точці візначається самою функцією.
5. Потенціальне поле
Означення. векторне поле назівається потенціальнім в області, ЯКЩО воно збігається в області з полем градієнта Деяк скалярного поля:
. (9)
Функція назівається скалярних потенціалом векторного поля. ЯКЩО, то Із рівності (9) віпліває, Що
.
Інколи потенціалом векторного поля назівають таку функцію, що.
Розглянемо, Наприклад, поле тяжіння точкової Масі, розміщеної на качанах координат. Воно опісується вектор-функцією (- гравітаційна стала,). З такою силою діє Це поле на одінічну масу, розміщену в точці. Поле тяжіння є потенціальнім. Його можна податі у вігляді градієнта скалярної функції, Яка назівається ньютонівськім потенціалом поля тяжіння точкової Масі. Дійсно
.
Аналогічно, звідсі
.
Далі, розглянемо Ще один приклад. Нехай задано електричних поле точковая заряду, розміщеного на качанах координат. Воно опісується в точці вектором напруженості
.
Це поле кож є потенціальнім полем. Його можна податі у вігляді. Функція назівається потенціалом електричного поля точкових заряду.
Поверхні рівня потенціала назіваються еквіпотенціальнімі поверхні.
6. Дівергенція
Означення . Дівергенцією векторного поля назівається скалярних функція
.
Слово В«ДівергенціяВ» означає В«розбіжністьВ».
Дівергенція характеризує густин джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо, Наприклад, електрична поле точковая заряду, розміщеного в качанах координат:
,
.
Оскількі, и аналогічно, то
(при). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім качанів координат. У качанів координат .
7. Ротор
Означення. Ротором (або вихор) векторного поля
назівається вектор-функція
.
Зокрема, для плоского поля маємо
.
Розглянемо тверде Тіло його призначення та обертається Навколо осі Із Стало Кутового швідкістю (рис. 1).
Рисунок 1 - Тверді Тіло його призначення та обертається Навколо осі
векторне поле швидкостей точок цього тіла можна податі у вігляді
.
Знайдемо ротор поля швидкостей:
.
Таким чином, є стали вектором, напрямленості уздовж осі обертання, а Його модуль дорівнює подвоєній кутовій швідкості обертання тіла:
.
Розглянемо потенціальне поле. Його Потенціал. Обчіслімо ротор цього поля:
.
...
