ФГТУ ВПО "Чуваська державний університет імені
І.М. Ульянова "
Кафедра вищої математики
Курсова робота
На тему: В« Єдиний перетин кривих в просторі В»
Виконав студент
групи: ДТЦ 11-10
Марков К. Ю.
Роботу перевірив:
Поляков Н.Д.
Чебоксари 2010р.
Зміст
Введення
1 Теорема єдиності для кривих другого порядку
2 Різні способи доведення теореми єдиності для кривих другого порядку
3 Пучок кривих другого порядку
4 Теорема єдиності для поверхонь другого порядку
Список літератури
Введення
Вперше криві другого порядку вивчалися одним з учнів Платона. Його робота полягала в наступному: якщо взяти дві пересічні прямі і обертати їх навколо бісектриси кута, ними утвореного, то вийде конусна поверхня. Якщо ж перетнути цю поверхню площиною, то в перерізі виходять різні геометричні фігури, а саме еліпс, коло, парабола, гіпербола і кілька вироджених фігур.
Однак ці наукові знання знайшли застосування лише в XVII, коли стало відомо, що планети рухаються по еліптичних траєкторіях, а гарматний снаряд летить по параболічної. Ще пізніше стало відомо, що якщо додати тілу перший космічну швидкість, то воно буде рухатися по колу навколо Землі, при збільшенні цієї швидкості - по еліпсу, а по досягненні другого космічної швидкості тіло по параболі покине поле тяжіння Землі.
-->>
1 Теорема єдиності для кривих другого порядку Доведемо що для кривих другого порядку так звану В«теорему єдиностіВ». Але спочатку доведемо наступне.
Теорема 1 . Нехай на площині дано п'ять точок:
M 1 = ( x 1 , y 1 ), М 2 = (х 2 , У 2 ), М 3 = (х 3 , у 3 ), М 4 = (X 4 , y 4 ), М 5 = (х 5 , у 5 ) ,
з яких ніякі чотири не лежать на одній прямій. Тоді однозначно, з точністю до числового множника, визначені коефіцієнти а 11 = А, а 12 = В, а 22 = С, а 1 = D , a 2 = E , a 0 = < i> H в рівнянні
F (x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 2xy + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + a 0 = 0 (1)
кривої другого порядку, що проходить через ці точки, звідки випливає, що крива ця існує і єдина.
При цьому, якщо дані п'ять точок дійсні, то і проходить через них єдина крива другого порядку дійсна.
Доказ . Напишемо умова того, що кожна з точок M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 лежить на кривій, заданої рівнянням (1) з поки ще невідомими коефіцієнтами а 11 = А, а 12 = В, а 22 = С, а 1 = D , a 2 = E , a 0 = H . Отримуємо систему п'яти рівнянь:
Ax 2 1 +2 Bx 1 y l + Cy 2 1 + 2Dx 1 + 2Ey 1 + H = 0,
Аx 2 2 +2 Вх 2 у 2 + Cy 2 2 + 2Dx 2 + 2Еу 2 + Н = 0,
Ax 2 3 + 2Bx 3 y 3 + Cy 2 < sub> 3 + 2Dx 3 + 2Еу 3 + H = 0, (2)
Аx 2 4 + 2Bx 4 y 4 + Cy 2 4 + 2Dx 4 + 2Еу 4 + Н = 0,
Аx 2 5 + 2Вх 5 у 5 + Cy 2 5 + 2Dx 5 + 2Еу 5 + H = 0.
щодо невідомих А, В, С, D, Е, Н. Це - система п'яти лінійних однорідних рівнянь з шістьма невідомими. При цьому, якщо точки M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 дійсні, то і коефіцієнти x 2 1 , 2x 1 y l і т. д. в рівняннях (2) дійсні. Якщо система (2) - незалежна, то невідомі А, В, С, D, Е, Н визначені однозначно з точністю до числового множника, і теорема доведена.
Припустимо, що система (2) залежна. Тоді одне з рівнянь, нехай п'яте, є лінійна комбінація інших чотирьох. Отже, всяка шістка чисел А, В, С, D, Е, Н, яка задовольняє першим чотирьом рівнянням (2), задовольняє і п'ятий рівнянню (2), а це означає, що всяка крива (1), що проходить через чотири точки M 1 , M 2 , M 3 , M < sub> 4 , проходить і через п'яту точку M 5 . Покажемо спочатку, що в цьому випадку три крапки з числа чотирьох M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , лежать на одній прямій. У самому справі, в іншому випадку ми могли б провести через точки M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , дві пари прямих, тобто дві розпадаються криві другого порядку:
перше, M 1 M 2 і M 3 M 4 ,
друге, M 1 M 3 і M 2 M 4
Обидві ці распадающиеся криві проходять через чотири точки M 1 , M 2 , M 3 , M 4 не мають інших спільних точок; між тим у них повинна була б бути ще і п'ята загальна точка, а саме точка M 5 . Протиріччя! Отже, твердження доведено: з чотирьох точок M 1 , M 2 , M 3 , M 4 три, нехай M 1 , M 2 , M 3 , лежать на одній прямій d .
Доведемо, що на тій же прямій d лежить і четверта точка ( M 4 або M 5 ). Хай ні M 4 , ні M 5 не лежать па прямий d .
Проведемо через точку M 4 довільну пряму d ', не минаючу через точку M 5 . Маємо знову криву другого порядку, а саме пару прямих d і d ', проходить через крапки M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , але не проходить через M 1 , - Знову одержали протиріччя.
Отже, ми довели: якщо рівняння (2) залежні, то із точок M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 чотири лежать на одній прямий. Теорема 1 доведена.
Теорема2 (Теорема єдиності) . Якщо два рівняння другого ступеня
F ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 2 xy + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 < i> a ...
