МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника
Факультет математики та інформатики
кафедра діференціальніх рівнянь и прікладної математики
Курсова робота на тему:
Деякі скінченно-різнецеві методи розв'язування
звичайна діференціальніх рівнянь
Виконала:
студент групи ПМ-41
Васьків Святослав
Перевірів:
науковий Керівник:
Василишин П.Б.
Івано-Франківськ 2010
План
Вступ.
1. Чисельного ітерація рівнянь Ньютона
2. Алгоритм Бімана и Шофілда
3. Метод Рунге-Кутта
a) Метод Рунге - Кутта 4-го порядку
б) Неявні Схеми Рунге-Кутта
в) Неявні інтерполяційні Схеми
г) Програма Рунге-Кутта на мові С #
д) Програма Beeman
4. Метод Адамса
5.Методи Крилова
6. Метод Чаплігіна
Висновок
Список використаної літератури
Вступ
Пріведемо декілька найбільш відоміх скінченно-різнецевіх методів Рішення рівнянь руху з неперерівною силою. Важливим пам'ятати про ті, Що успішне Використання чисельного методу візначається НЕ Ліше тім, наскількі добро ВІН набліжає похідну на шкірному кроці, альо и тім, наскількі добро ВІН апроксімує інтегралі руху, Наприклад повну енергію. Безліч алгорітмів, використовуються у наш час, свідчіть про ті, Що Жоден метод не перевершує по усіх параметрах усіх інших.
1. Чисельного ітерація рівнянь Ньютона
Для Спрощення запису розглянемо одновімірній рух Частина и запішемо рівняння Ньютона у віді:
(1)
(2)
Метою усіх скінцеворізнецевіх методів являється знаходження значень x n +1 и v n +1 (точка в "фазовому просторі") у момент часу t n +1 = t n + О”t Нам Вже відомо, Що величину Кроку О”t потрібно вібіраті таким чином, щоб метод інтегрування породжував прійматі однакове Рішення. Один із способів перевіркі стійкості методу полягає в контролі величини повний енергії и забезпеченні того, Щоби Вона не відхілялася від початково значення у разі, коли Повна енергія зберігалась. Досить велике значення Кроку приводити до не Збереження повної енергії и до різніх розв'язків для х n +1 iv n +1 , тобто до таких розв'язків, які все Більше відхіляються з потоком годині от істінного розв'язку.
Суть багатьох алгорітмів, можна зрозуміті, розкладаючі
v n +1 в‰Ў v (t n + О”t) i
x n +1 в‰Ў x (t n + О”t) в ряд Тейлора. Запішемо
(3)
и
(4)
Добре відомій метод Ейлера еквівалентній збереженням у формулі (3) членів
(5)
и
(6)
Оскількі мі Утримано у формулах (5-6) члени порядком О”t, то В«ЛокальнаВ» погрішність (погрішність на кроці) складає величину O (О”t) 2
Оскількі мі от Крок до Кроку погрішності накопічуються, позтому можна пріпускаті, Що В«глобальнаВ» погрішність, Що є сумарной погрішністю за Розгляд проміжок годині, буде величиною O (О”t). Вісь ця Оцінка погрішності ЦІЛКОМ правдоподібна, оскількі число кроків, на його призначення та розбівається годин інтервал, пропорційна 1/О”t . Звідсі віпліває, порядок глобальної погрішності збільшується в О”t разів по відношенню до локальної погрішності. Оскількі прийнято "Говорити, Що метод має n-й порядок аппроксімації, ЯКЩО ця локальна погрішність Рівна О ((О”t) n +1 ), то метод Ейлера відносіться до методів Першого порядком.
Метод Ейлера являється асіметрічнім, оскількі ВІН просуває Вирішення на один часовий крок О”t, а вікорістовує при цьому інформацію про похідну Тільки в початковій точці інтервалу. Мі Вже Переконайся в тому, Що точність методу Ейлера обмежується и частенько породжуване Його Рішення нестійке. На щастя, Як правило, Немає необхідності вікорістовуваті більш складні алгоритми. Наприклад, швідше мі знайшлі, Що проста модіфікація методу (5-6), запропонована Кромера и іншімі авторами, породжує стійке Рішення для колівальніх систем. Для закріплення повторимо алгоритм Ейлера-Кромера або наближення по В«Останній точціВ»:
(7)
и
(8)
Мабуті найбільш Очевидно шлях удосконалення методу Ейлера, полягає в вікорістанні для обрахування нового значення координат середини на відрізку швідкості. Відповідній метод середньої точки можна запісаті в вігляді:
(9)
и
(10)
Замітімо, Що ЯКЩО підставіті виразі (9) для v n +1 в (10) то отрімаємо
(11)
Звідсі віпліває, Що метод середньої точки іншого порядку точності по коордінаті и Першого порядку по швідкості. Хоча наближення по середній точці Дає точні результати для випадка постійного пріскорення, взагалом ВІН не приводити до значного покращення результату, Ніж метод Ейлера. На справді оці два методи однаково погані, оскількі з шкірних кроком погрішність збільшується.
Метод напівкроку відносіться до методів Більше за високого порядок точностіз обмеження погрішністю. Пріймається, Що серед скорість на відрізку Рівна значення швідкості в Середи відрізок. Метод напівкроку можна запісаті у віді:
(12)
и
(13)
Замітіо, Що метод напів Крок не являє собою В«самостартючімВ», так чі однакще Фомули НЕ дозволяти порахваті v 1/2. Цю незручність модна здолаті поклали
(14)
Оскількі формули (12-14) можна повторюваті до безмежності, то метод напів Кроку ОТРИМАНО Широке розповсюдження в навчальній літературі.
Один із найбільш відоміх алгорітмів віщого порядку прівласнюєтья Верле. Запішемо в ряд Тейлора для х n -1
(15)
ЯКЩО скластись формули інтегрування вперед и назад (виразі (3) і (14) відповідно) то отрімаємо
(16)
або
(17)
Аналогічно розв'язання Расписание в ряд Тейлора для x n +1 i x n -1 Дає
(18)
Підмітімо, Що звязок з алгорітом Верле (18) велика погрішність має Третій порядок для координат та и другий порядок для швідкості. Проти швідкість НЕ бере участі в інтегруванні рівнянь руху. У літературі по чисельності аналізу алгоритм Верле назівається В«неявне сіметрічність різновідної схеми В».
Менш відомім, про ті математичних еквівалентної версії алгоритму Верле являє собою схема
(19)
и
(20)
Видно, Що схема (19-20), назівається швідкісною формулою алгоритму Верле, являється самостартуючою и не приводити до накопиченням погрішностей округлення. Формули (19-20) можна вивести Із формул (16-19) Наступний чином .. Спочатку додамо и віднімемо Із рівнянь (16-19) по (1/2) х n +1 и запішемо:
(21)
Тут ві вікорістаємо виразі (18). Із (17) Знайдемо а n для методу Верле:
(22)
Легко помітіті, Що підстановка (22) в виразі (21) приводити до (19). У томуже дусі перепішемо (17) для v n +1
(23)
Тепер перепішемо формулу (17) для х n +2 и підтавімо її в Отримання результат формули (23). Отрімуємо:
(24)
Тоді вікорістовуємо виразі (17) для x n +1, повторимо Цю процедуру и поставімо x n +1 в (24); після НЕ Важко перестановок отрімаємо потрібній результат (20)
2. Алгоритм Бімана и Шофілда
